在自主探索中建构数学模型——“三角形边的关系”教学片段及思考

◇王泰臣

在自主探索中建构数学模型
——“三角形边的关系”教学片段及思考

◇王泰臣

【片段一】提出问题，初步探索

1.复习铺垫。

师：（屏幕出示三角形）同学们，请看屏幕。这几个是什么图形？

生：这些都是三角形。

师：三角形是我们早已认识的老朋友，在这些三角形中都有什么？

生：三角形有3条边、3个角、3个顶点。

师：说得很好！三角形的3条边其实就是3条线段。

2.提出问题。

师：大家想想，如果让你围一个三角形，至少需要几条线段？

生：3条。

师：（屏幕出示问题一）是不是任意长度的3条线段都能围成一个三角形呢？

生：是。

生：不是。

师：有的同学认为是，有的同学认为不是。遇到问题时，我们不要急于下结论，可以先怎样？

生：先试试。

师：这是一个不错的方法，下面我们就用小棒来代替线段围三角形。

3.初步探索。

师：（屏幕出示5根小棒图）老师给大家准备了5根不同颜色、不同长度的小棒，谁来给大家介绍一下？

生：白色小棒长 2厘米，黄色小棒长3厘米……

师：在同学们的信封里，也有这样的5根小棒。接下来，同桌合作，从这5根小棒里任意选3根小棒摆一摆，看看能不能围成一个三角形。不管能不能围成三角形，请大家都如实记录在记录单上。

（学生同桌合作围三角形，展示摆好的图形）

【思考】教师通过回顾，使学生明确三角形都有3条边，为学生进行猜想提供了一定的依据。在此基础上，教师设问：“是不是任意长度的3条线段都能围成一个三角形？”解决好这个问题是顺利引出课题、探索三角形边的关系的关键。在产生能与不能的矛盾冲突之后，动手实验就成为解决这一矛盾的必然数学活动。在初步探索环节的设计上，教师创造性地使用教材 （西南师大版），设计了从5根不同长度的小棒中任意选出3根，看能不能围成一个三角形，操作活动更加开放，学生自主探索的空间更大，学生的感知更加充分，再加上小棒的长度是明确标示的，学生通过记录任意3根小棒的长度与能不能围成三角形的结果，比较容易体会三角形三边之间的关系。

【片段二】展示交流，深入探索

1.展示交流2条线段的和小于第三条线段的情况。

师：这个图形（图略）是哪组同学摆的？

生：我们摆的。

师：告诉大家，你们选的这3根小棒有没有围成一个三角形？

生：这3根小棒没有围成一个三角形。

师：和他们选择一样的请举手。你们围成了吗?

生：没有。

师：其他同学认为像这样的3根小棒能围成三角形吗？

生：不能。

生：没有围成。

师：你们不同意？说说理由。

生：围三角形应该首尾相连。

师：他的话你们同意吗？

生：同意。

师：原来在围三角形的时候还要做到 3条线段首尾相连。（边说边移动）这3条线段是不是真的围不成，我们还应该往下压一压。（操作压）同学们注意看，缺口在慢慢变小，继续往下压，还是有缺口。看来，这3根小棒确实不能围成三角形。

图1

2.展示交流2条线段的和等于第三条线段的情况。

师：这个图形（图略）是哪个组摆的？你们有没有围成三角形？

生：没有围成三角形。

师：在摆的时候，你们是怎样发现这3根小棒不能围成三角形的？

生：我们把2根短的小棒连在一起，就和长的那根小棒相等了。如果把2根短的小棒中间往上抬一点就会断开，所以不能围成一个三角形。

师：请到前面把你们的想法演示一下。（生上台演示）你们看清楚了吗？这3根小棒能围成一个三角形吗？

生：不能。

3.展示交流两边之和大于第三边的情况。

师：同学们，我们再看看这个图形（图略），围成三角形了吗？

生：围成了。

师：你们是怎么确定这3根小棒围成了一个三角形的？

生：这 3根小棒首尾相连，有3个顶点、3个角、3条边。

【思考】对于3条线段能否围成三角形，可以分为三种不同的情况。如何安排展示的顺序？这是值得思考的问题。教师先引导学生从不能围成的情况开展研究，在两边之和小于第三边的情况中重点引导学生解决 “首尾相连”和“无论怎么压也不能相连”两个问题，学生对于这种情况比较容易理解和接受。对于两边之和等于第三边的情况，重点引导学生通过操作、观察、思考，结合自己的经验，用自己的语言去描述“2根短的小棒连在一起，只要将较短的2根小棒的中间往上抬一点就不能围成三角形了”。有了对两种反例的体会，学生对能围成三角形的3根小棒的长度关系自然就有了一定的感知。

【片段三】探索发现，建立模型

1.揭示课题，再次提问。

师：同学们，根据你们摆的图形来看，是不是任意长度的3条线段都能围成三角形？

生：不是，有的能围成三角形，有的不能围成三角形。

师：看来要围成一个三角形，不仅需要3条线段，而且跟这3条线段的什么有关？

生：跟这3条线段的长度有关。

师：我们来看看这些图形中的3条线段的长度分别是多少？（标出每个图形中每条线段的长度）在三角形里，这3条线段就是三角形的3条边，三角形的3条边之间到底有什么关系？这就是我们这节课要研究的内容。

师：（课件出示问题二）请同学们仔细观察这些图形，思考：怎样的3条线段才能围成一个三角形？同学们先独立思考，再把你的想法和同桌商量商量。

图2

图3

图4

2.交流分享，共建模型。

（1）观察围成的三角形，发现关系。

师：同学们，谁愿意把你的想法与大家分享？

生：我发现任意2条线段的和都大于第三条线段时就能围成一个三角形。

师：你的意思是什么？请到前面结合图说一说。

生：（指图4说明）这条2厘米的线段加上3厘米的线段大于这条4厘米的线段，3厘米与4厘米的和大于2厘米，2厘米与4厘米的和大于3厘米，这样的3条线段就能围成一个三角形。

师：这样的关系我们也可以用数学式子来表示。

（板书：2+3＞4，3+4＞2，2+4＞3）

师：你们同意他的想法吗？

生：同意。

师：（出示边长为3厘米、4厘米、5厘米的三角形）在这个三角形里，是不是也有这样的关系？

生：有，3+4＞5，5+4＞3，3+5＞4。

（2）对比没有围成的图形，寻找没有围成三角形的原因。

师：在三角形里，同学们找到了3条边之间的关系。那在没有围成三角形的图形里，3条线段之间有着怎样不同的关系呢？（观察图2、图3）

生：有2条线段的和小于第三条线段。

（板书：2+3＜6）

师：（指图3）这个图形呢？

生：2+3=5。

师：通过观察和比较，同学们发现了只要有2条线段的和小于或等于第三条线段，就不能围成三角形；只有任意两边的和大于第三边，才能围成一个三角形。

3.看书巩固，理解模型。

师：请同学们打开书，把课本上例3的实验单填写完整。

（生填写）

师：对这节课所学的知识，你们还有不清楚的地方吗？

生：没有了。

师：老师有个问题考考你们。（在黑板上任意画一个三角形）这个三角形每条边的具体长度不知道，我们分别用a、b、c来表示。你能说一说这个三角形3条边的关系吗？

生：a+b＞c，a+c＞b，b+c＞a。

（师小结关系，完成板书：三角形任意两边的和大于第三边）

【思考】数学模型的形成是一个逐步抽象的过程，怎样抽象和建构数学模型呢？学生通过大量的操作感悟和理性分析，已经积累了一定的数学活动经验。如何进一步抽象出三角形边的关系呢？这个环节在三个方面进行了强化：一是提问准确，要求明确。学生对任意的3条线段能否围成一个三角形已有比较深刻的体会，老师提问：“要围成一个三角形，不仅需要3条线段，而且跟这3条线段的什么有关？”（长度）紧接着问：“三角形的3条边之间到底有什么关系？”并引出课题，这样的设计很好地回答了能否围成三角形与3根小棒的长度有关系。接着，进一步追问“怎样的3条线段才能围成一个三角形”，而且提出明确的要求，先独立思考，然后同桌交流，符合课标对学生养成良好学习习惯的要求。二是通过计算验证规律的正确性。所有的操作实践都是通过观察得到的感性认识，需要有具体的、准确的数据验证其正确性，教师在让学生感悟“能否围成三角形与3条边的长度有关”后，自然地给出三角形3条边的长度，先让学生计算，用数学式子表示能围成三角形的3条边之间的关系，然后又通过计算，发现没有围成三角形的两种情况中有2+3＜6或2+3=5，从正、反两方面验证了三角形3条边的关系。三是引入字母表示，体现规律的简洁性。教师任意在黑板上画出一个三角形，用字母a、b、c表示3条边的长度，然后用字母式子表示三角形边的关系，体现了数学的简洁美，使学生对数学模型的理解更加深刻。

四川眉山市东坡区教研室）