数学模型思想与小学数学教学

◇张春莉 邓惠平 王聍瑶 张 雪 马晓丹

数学模型思想与小学数学教学

◇张春莉 邓惠平 王聍瑶 张 雪 马晓丹

一 数学模型与模型思想

（一）数学模型的含义。

史宁中教授认为[1]，模型有别于一般的数学算式，也有别于通常的数学应用，模型是能够用来解决一类具有实际背景的问题的数学方法。张奠宙和过伯祥两位教授认为[2]，数学模型是指将一类事物或运动过程用数学概念、公式以及逻辑关系从数量上加以描述，以使人们更深刻、更准确地认识其数量关系、把握其特征。徐利治先生在《数学方法论选讲》一书中谈到[3]，“数学模型”是一个含义很广的概念。粗略地讲，数学模型是指参照某种事物系统的特征或数量相依关系，采用形式化数学语言，概括地或近似地表达出来的一种数学结构。数学模型具有解释、判断和预见三大功能。

（二）数学模型的主要表现。

数学模型是用数学的语言和方法对各种实际对象作出抽象或模仿而形成的一种数学结构。广义地说，一切数学概念、数学理论体系、数学公式、数学方程以及由它们构成的算法系统都可以称为数学模型；狭义地说，只有那些反映特定问题或特定具体事物系统的数学关系结构才叫数学模型。

中小学阶段的数学模型一般是从狭义的角度而言的，用字母、数字及其他数学符号建立起来的代数式、关系式、方程、函数、不等式，以及各种图表、图形等都是数学模型。就小学阶段而言，小学数学中主要有公式模型、方程模型、集合模型和函数模型这四种重要的模型[4]。

1.公式模型。

数学公式既是反映客观世界数量关系的符号，也是从现实世界中抽象出来的数学模型，因为它摒弃了事物的个别属性，因而更加具有典型意义。比如，总价=单价×数量，长方形的面积=长×宽，(a+b)×c=a×c+b×c，等等。

2.方程模型。

方程也是一种数学模型，列方程可以降低解答应用题的难度。运用方程模型解答应用题的要点如下:

（1）在理解问题的基础上，把问题归结为确定若干个未知量。

（2）设想未知量已经求出，根据条件列出已知量和未知量之间成立的一切关系式。

（3）从已知条件中分析出部分条件，以便能用两种不同的方式表示同一个量，从而得出一个联系未知量的方程式，直至最后得出一个方程或与未知量个数相等的方程所组成的方程组。

（4）解方程（或方程组），并检验所得答案的正确性。

3.集合模型。

集合也是一种数学模型，利用集合有助于学生解决简单的实际问题。

例如:某班订阅报纸，每个人至少订阅一种。现在有20人订了《中国少年报》，10人订了 《小学生学习报》，其中5人同时订了这两种报纸，求全班的学生人数。

这道题中，订《中国少年报》的20人构成一个集合，订《小学生学习报》的10人构成另一个集合，而同时订了这两种报纸的5人属于这两个集合的交集。因此，全班的学生人数为：20+10-5=25（人）。

4.函数模型。

在小学阶段，函数模型的主要内容是有关正比例和反比例的问题，正比例属于一次函数，反比例仅仅是反比例函数的雏形。所以，在小学阶段主要是让学生感受变量思想，初步接触函数知识，渗透函数模型思想。

用函数解决问题的基本步骤如下:（1）理解题意(关键是数据、字母的实际意义)；（2）设量建模；（3）求解函数模型；（4）简要回答实际问题。

（三）模型思想的含义。

《义务教育数学课程标准（2011年版）》中对模型思想进行了解释：“模型思想的建立是学生体会和理解数学与外部世界联系的基本途径。建立和求解模型的过程包括：从现实生活或具体情境中抽象出数学问题，用数学符号建立方程、不等式、函数等表示数学问题中的数量关系和变化规律，求出结果并讨论结果的意义。”此外，陈华忠在《数学教学如何呈现“模型思想”》[5]中指出：模型思想包括建立模型和求解模型两个部分。其中，建立模型是从现实生活或具体情境中抽象出数学问题，用数学符号建立方程、函数等模型，是生活问题或具体情境的数学化过程；而求解模型则是数学问题解决的过程。

简单地说，模型思想即是对现实情境中的问题进行数学化的抽象与概括，运用所习得的数学符号建立相关的数学模型，并加以验证，再运用验证后的模型解决现实生活中与此问题相关的、类似的问题。

（四）模型思想的价值。

模型思想作为一种基本的数学思想，可广泛应用于多种现实情境，解决许多实际的数学问题，具有很高的价值。

黄荣德在《模型思想：内涵、价值及教学策略》中指出[6]，模型思想具有以下价值：（1）有利于促进学生对数学的理解。学生可以在反复建立和求解模型的过程中，更加透彻地理解并自我生成数学知识，进而感悟数学思想，帮助他们把握数学的本质。（2）有利于发展学生的思维能力。学生在运用数学模型思想解决相关问题的同时，能体会到数学学习的思维方式和行为方式，从而提升他们的数学思维能力。（3）有利于增强学生的应用意识。由于数学模型是在具体生活情境中抽象出来并应用其求解的，在此过程中，学生可以体会到数学知识的应用价值，增进他们对数学的理解。（4）有利于培养学生的积极情感。学生能在建模过程中习得知识技能、思想方法，同时也累积经验，这可以增强他们对于数学学习的兴趣，培养其积极情感。

二 模型思想的具体体现

模型思想主要体现在数学建模和模型的应用这两个方面。

（一）数学建模。

关于数学建模的过程和步骤，我国众多学者提出了不同的观点。邱廷建认为[7]，建模分为以下三个阶段:（1）创设情境，提出问题。在此过程中，要注意找准学生认知的最近发展区，使得提出的问题能引发学生的思考。（2）猜想与验证，建立模型。教师需要引导学生针对问题特点和建模目的做出合理猜想并进行验证，重点关注学生在猜想背后的思想。（3）应用模型，解决问题。通过对已有数学知识的应用，解决此模型中的现实问题。

此外，王吉鹏、王鑫认为[8]，模型思想的建立主要分为以下几个环节：（1）创设情境，提炼问题；（2）提出猜想，假设模型；（3）尝试举例，验证模型；（4）深化拓展，应用模型；（5）回顾整理，激励创新。叶萍惜教授认为[9]，小学数学建模的基本模式为“现实问题——简化假设——建立模型——模型求解——结果检验”。

总之，我们可以将建模过程大致分为以下几个步骤：创设情境——提 出 猜 想——建 立 模型——验证模型——应用模型。

在创设情境中，教师需要根据小学生的现有认知水平，找准学生认知的最近发展区，为学生提供真实的问题情境，引发学生思考。比如，北师大版教材五年级上册“图形中的规律”一课，教师首先创设一个情境：摆1个独立的三角形需要几根小棒？2个呢？3个呢？100个呢？让学生先找出显而易见的规律，再提出新的问题：能用5根小棒摆出2个三角形吗？像这样摆三角形，摆100个三角形需要多少根小棒？通过这样的情境，让学生在尝试动手摆三角形的活动中直观感受，思考其中是否有规律可循，即三角形的个数和小棒根数之间有怎样的变化规律？同时让学生体会到探究规律需要仔细观察、认真思考，从而激发探究的愿望。

接着提出猜想，建立模型。在此过程中，教师通过如下表格引导学生先探索10个以内三角形的情形，在动手操作过程中体验探究的方式和方法，积累探究的经验和感受，即建模时如果从简单的数量入手，也许就能发现规律，从而解决复杂的问题。

三角形个数 摆成的图形 小棒的根数1234…… …… ……10

这样，学生可以在动手操作和填写表格的过程中发现：随着三角形个数的增加，每多摆1个三角形，小棒的根数就增加2。基于此，学生可能会提出猜想，建立模型。由于学生观察的角度不一样，还可能建立不同的模型，有的是小棒的根数＝3+（三角形的个数－1）×2，有的是小棒的根数＝1+ 2×三角形个数，有的是小棒的根数＝3×三角形个数－（三角形个数－1），让学生体会建模的趣味。

之后，教师应引导学生验证模型。比如验证11个三角形，一方面实际地摆出（或画出）11个三角形，数出小棒的根数；另一方面将11代入猜想得出的模型，验证模型的正确性。在此过程中，对于学生的猜想和模型，只要是经过认真思考的，教师都应当给予肯定，在此基础上让学生体会到验证模型的重要性。

最后，教师应引导学生应用模型，解决原始问题，即摆100个三角形需要多少根小棒。让学生体会到建模的作用，并获得解决问题的成功体验，提高学习数学的自信心。

（二）模型的应用。

模型的应用强调的是学生在掌握数学模型的基础上，在遇到与此相关的、类似的问题时，能自觉地运用和选择相应的数学模型来解决数学问题。例如，有这样一道题：甲、乙两车分别从A、B两地同时相向开出，已知甲车行完全程需要4天，乙车行完全程需要5天，甲、乙两车多少天可以相遇？

这道题表面上看似一个行程问题，应该用“路程÷速度=时间”这一公式模型，用总路程除以甲、乙两车的速度之和来求出两车相遇所需时间。但与一般行程问题不同的是，这道题并没有给出总路程，因此并不适合直接用行程问题的公式模型来解答。

但是如果换一种思路，将总路程看作“1”，将甲、乙两车的速度分别看作甲、乙两队的工作效率，将甲、乙两车行完全程所需的时间分别看作甲、乙两队的工作时间，这样一来，行程问题就变成了工程问题，即：一项工程，甲队独立完成需要4天，乙队独立完成需要5天，现在两队合做，几天可以完成这项工程？这时只需用工程问题的公式模型“工作时间=工作总量÷工作效率”来解答，问题就能迎刃而解。

可见，模型的应用就是要求学生在面对数学问题时，能正确、灵活地辨别数学模型，从而利用模型解决某类问题。

三 在小学数学教学中渗透模型思想

在小学数学教学中应如何渗透模型思想呢？

（一）从生活原型到数学模型。

生活原型是构建数学模型的基础。在教学过程中，教师应根据数学问题巧妙地创设现实情境，通过这个现实中的生活原型引导学生感知模型思想。在具体的授课过程中，将生活中源源不断的、丰富多彩的具体事例引入小学数学课堂中，一方面，可以消除孩子们对于抽象性极强的数学知识的恐惧，另一方面，教师在引导学生体验生活的过程中，悄然渗透模型思想，让学生在生动、快乐的课堂体验中提升自己的数学素养与综合能力。比如，通过购物活动这一生活原型引导学生理解加减法的模型。又如，通过观察销售的数量与总价之间的关系，引导学生理解如果这两种量中相对应的两个数的比值一定，它们的关系就是正比例关系，感知这一数学模型。

（二）经历建模的过程。

徐友新在《渗透模型思想的误区、目标定位和教学策略》中提出[10]，对于数学模型的建立过程可以这样理解：（1）选择合适的建模点。在小学数学中，我们主要可以从“数量关系”和“变化规律”这两个方面梳理出主要的建模点。（2）充分经历从“境”到“模”的抽象过程。这是模型思想的关键和重点，在此过程中，老师要多举一些实例，让学生在充分经历、体验的基础上，总结出相应的数学模型。（3）大力培养“提出猜想——验证猜想”的科学精神。考虑到小学阶段学生认知水平的限制，在小学阶段建模最有效、最直接的方法就是大力培养学生“提出猜想——验证猜想”的科学精神。需要注意的是，对于小学生提出的猜想，只要是他们基于经验，经过认真思考而提出的，教师都应当给予积极的正面回应。（4）在“用模”中感受价值。在运用模型的过程中，让学生真正体会到模型的价值，可以用其解决实际问题。（5）在“建模”中体验乐趣。让学生初步体验“建模”的乐趣与意义，培养他们学习数学的兴趣与积极性。

例如，在长方形面积教学中，教师先引导学生用1平方厘米的小方块摆满整个长方形，意在使学生进一步理解面积的意义，即“用面积单位摆满”，所用面积单位的个数就是长方形的面积。在此过程中，教师引导学生发现有的小组只摆一行一列就能数出面积单位的个数，让学生初步感知长、宽与可摆面积单位个数的关系。重点突出“先横着摆一行，再竖着摆一列”就能算出面积单位个数，即长方形面积，引导学生借助动手操作，通过直观模型促进学生猜想和发现“长方形面积=长×宽”这一数学模型。之后再引导学生应用模型解决一些实际问题，从而体会模型的价值和建模的意义。

（三）应用数学模型。

要让学生掌握模型思想，就要让学生运用所建立的数学模型解决实际生活中的问题，使他们感受到模型的实际应用。因此，教师可以在学生经历了建立数学模型解决某个问题之后，引导学生利用这一模型解决类似问题。

比如，经典的鸡兔同笼问题是这样阐述的：鸡兔同笼，一共有30只头，60只脚，那么鸡、兔各多少只？在学生利用假设法和图表的模型解决该问题之后，教师应设计这样的变式练习：小朋友们去划船，大船可以坐6人，小船可以坐4人。现在共有小朋友80人，共租了15只船。那么大船、小船各几只？这时，如果学生能够找到对应关系，即小朋友的人数相当于脚数，船的只数相当于头数，就能利用鸡兔同笼问题的模型解决租船问题。同样，在学生学习了植树问题之后，教师可以设计变式练习：把一根木头锯成3段，需要锯几次？类似的问题都是在引导学生应用模型解决同类型问题。

总之，模型思想是数学思想方法中的一个重要组成部分。在具体的教学实践中，我们要多措并举，以提升学生的模型思想为契机，切实有效地全面提升学生的数学素养与综合能力。

[1]史宁中.基本概念与运算法则：小学数学教学中的核心问题[M].北京:高等教育出版社，2013:6，41.

[2]张奠宙，过伯祥.数学方法论稿[M].上海:上海教育出版社，1996:196.

[3]徐利治.数学方法论选讲(第2版)[M].武汉:华中工学院出版社，1988:15.

[4]刘明祥.在小学数学教学中培养学生模型思想的探讨[J].教育探索，2013（9）:50-51.

[5]陈华忠.数学教学如何呈现“模型思想”[J].教育科学论坛，2015（7）:51-52.

[6]黄荣德.模型思想：内涵、价值及教学策略[J].江苏教育研究，2015（Z4）：73-76.

[7]邱廷建.模型思想在小学数学教学中的应用[J].小学教学研究，2015（10）:7-9.

[8]王吉鹏，王鑫.浅谈建立模型思想的教学策略[J].山东教育，2012（13）:42-43.

[9]叶萍恺.小学数学的“数学建模”教学策略[J].教育教学论坛，2012（4）:202-203.

[10]徐友新.渗透模型思想的误区、目标定位和教学策略[J].小学数学教育，2015（12）:6-9.

北京师范大学教育学部课程与教学研究院）