T.Figiel定理及其应用

马玉梅

(大连民族大学 理学院，辽宁 大连116605)



T.Figiel定理及其应用

马玉梅

(大连民族大学 理学院，辽宁 大连116605)

摘要：等距延拓问题是几何和泛函分析领域的重要课题。在Mazur-Ulam定理基础上，给出了T.Figiel定理的一个等价命题以及它在等距逼近问题中的应用。

关键词：等距；等距逼近；连通集

等距算子及其延拓问题的研究在几何泛函分析领域占有重要位置。80多年来一直是研究的热点问题[1-13]。 1932年Mazur-Ulam定理给出两个赋范空间之间的满等距映射必为仿射变换。1968年T.Figiel考虑将Mazur-Ulam定理中的“满映射”改为“嵌入映射”给出了一个一般性的著名定理[1]：

为了证明T.Figiel定理，该作者首先给出了以下两个引理：

本文推广了引理1，同时也给出了一个与T.Figiel定理等价的命题。

此外，本文还考虑了非线性Lipschitzε-等距逼近问题：映射T:E→F为Lipschitzε-等距，如果对任何x,y∈E，有

对于这类ε-等距映射T是否存在等距逼近一直是许多数学家从事的课题[2-10]。

1T.Figiel引理的推广

证明首先，定理2⟹T.Figiel定理显然成立。

再令：

2T.Figiel引理的应用

作为T.Figiel定理的一个应用，下面考虑Lipschitzε-等距逼近问题，这里的证明方法是通过改进P.M.Gruber[11]的方法(绝对误差的ε-等距逼近问题的证明过程中的方法)得到的。

(2)T(0)=U(0)=0，

(1)

(2)

下面证明

(3)

事实上，由于T是满射，∀y∈Y，∃x∈X，使得Tx=y，从而对于∀λ>0,∃xλ∈X使得

(4)

根据式(1)得到

(5)

由于

(6)

于是由式(4)(5)得到

当反过来考虑上面的命题时可以得到当空间为有限维时的以下定理。

下面证明

(7)

(8)

此式与式(8)矛盾。这样完成了命题的证明。

注：从这个命题可以发现这一结果不十分理想，没有得到U(x)为等距映射。

下面证明存在N，使得当r≥N时，

(9)

参考文献：

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[13]MAYumei.Isometryonlinearn-normedspaces[J].AnnalesAcademiScientiarumFennicMathematica,2014, 39: 973-981.

(责任编辑邹永红)

T.Figiel′s Theorem and Its Application

MA Yu-mei

(School of Science, Dalian Minzu University, Dalian Liaoning 116605, China)

Abstract:The extension problem on isometry is an important issue in the field of geometry and functional analysis. Base on Mazur-Ulam theorem, we give an equavilent proposition of T.Figiel' s theorem and its applications on isometric approximate problems.

Key words:isometry；isomatric approximation；connected set

收稿日期：2015-06-30；最后修回日期：2106-01-05

基金项目：中央高校基本科研业务费专项资金资助项目(DC201502050301)。

作者简介：马玉梅(1962-)， 女，辽宁海城人，教授，博士，主要从事泛函分析相关问题研究。

文章编号：2096-1383(2016)03-0224-02

中图分类号：O177.3

文献标志码：A