系统抽样中的一点代数应用

基金项目：南通大学教学改革课题（2013B122）

摘要： 系统抽样又称为等距抽样或机械抽样，本文主要考虑总体单元数 不是样本量 的整数倍时，利用代数的方法构造等距抽样，并且验证了均值的估计是无偏估计。

关键词：群；抽样调查；系统抽样

【分类号】O212.2

一、系统抽样概述

系统抽样（systematic sampling）又称为等距抽样、机械抽样。即首先从总体中抽取第一个样本点（随机起点），然后按某种固定的顺序和规律依次抽取其余的样本点，最终构成样本。这种抽样具有样本量小，抽样精度高的优点，因此抽样过程中系统抽样是应用最为广泛的一种抽样方法。

当总体单元数 是样本容量 的整数倍，即 ， 为抽样间隔，此时，可以采取直线等距抽样的方法。首先在 个单元中随机抽取一个单元，假设为 ，然后每隔k个单元抽取一个单元，即分别为：r+k，r+2k，…….，直至抽取了n个单元，抽取的样本编号为： 。

若总体单元数为 不是样本容量为 的整数倍，此时用直线等距抽样，将会导致实际样本容量可能与n相差1，而且每个单元入样的概率不等，因此用直线等距抽样可能产生偏倚。鉴于此，文献[1-2]中给出了循环等距抽样、修正直线等距抽样等方法。

本文主要考虑总体单元数 不是样本量 的整数倍时，利用代数的方法构造等距抽样，并且验证了均值的估计是无偏估计。

二、代数表示方法

设 为模 的剩余类环， 为 的 元子集族， 中的元素 为 个入样单元的编号集。因此，等距样本单元的编号集为 的 元子集，其确定方法如下：

Step1：由于总体单元数为 不是样本容量为 的整数倍，所以通常取与 最接近的整数作为系统抽样的抽样间隔 。

Step2：从 中产生一个随机数，不妨假设为 ，则第 个单元首先入样。

Step3：根据抽样间隔 确定另外 个入样的单元编号，在模 的情况下依次为 ，从而抽取的样本编号用集合表示为：

例：设总体 ，其标志值分别为 ，总体均值为 ，则列出样本容量 的等距样本。

解：先計算间距 ，取 ，在0～8中取一个随机起点，不妨假设为7，然后每隔2个单元取一个，则入样序号是7、0、2，即 、 、 入样。

三、无偏性

根据上述的抽样方法，共有 种可能等距样本，样本编号集为：

以上集合可由集合 生成：

根据上述的 种可能等距样本的编号集形式，下面的结论显然成立。

引理1：每个等距样本入样的概率相等为 。

证明：由于等距样本的编号集 与[0， ]上的随机数 对应，所以每个等距样本入样的概率相等为 。

引理2：每个单元入样的概率相等为 。

证明：由上述可知，共有 种可能等距样本，包含某个特定单元的等距样本共有 种，所以某个特定单元入样的概率为 。

定理：等距样本均值 为总体均值 的无偏估计。

证明： 。

参考文献

[1]金勇进，杜子芳，蒋妍.抽样技术[M].北京.中国人民大学出版社，2008.

[2]金勇进.抽样理论与应用[M].北京.高等教育出版社，2010.

[3] Chunrui Zhang，Baodong Zheng. Bifurcation in Z 2 -symmetry quadratic polynomial systems with delay[J]. Chaos， Solitons and Fractals . 2009 （5）

[4] Marina Chugunova，Dmitry Pelinovsky. On quadratic eigenvalue problems arising in stability of discrete vortices[J]. Linear Algebra and Its Applications . 2009 （5）

[5] Elias Jarlebring，Michiel E. Hochstenbach. Polynomial two-parameter eigenvalue problems and matrix pencil methods for stability of delay-differential equations[J]. Linear Algebra and Its Applications . 2009 （3）

[6] Marius Ghergu. Non-constant steady-state solutions for Brusselator type systems[J]. Nonlinearity . 2008 （10）

[7] Hernán R. Henríquez. Asymptotically almost periodic solutions of abstract retarded functional differential equations of first order[J]. Nonlinear Analysis： Real World Applications . 2008 （4）

[8] Grigoris I. Kalogeropoulos，Athanasios D. Karageorgos，Athanasios A. Pantelous. A stabilization criterion for matrix pencils under bilinear transformation[J]. Linear Algebra and Its Applications . 2008 （11）

作者简介：

于志华 1979-02 性别：男 籍贯：江苏南通 工作单位：南通大学理学院 讲师 硕士 主要研究方向：概率论与数理统计、组合数学。endprint