有序化原则的应用

雷添淇

面对多个元素或多种情况需要分类讨论时，有序思考可以使解题思路清晰且不缺不漏. 现以一道“中小学数学创新应用大赛”试题为例，说明有序化原则在解题中的应用.

例（第8届八年级复赛）定义一：若一个多边形的所有边中，任意一条边向两方无限延长成为一直线时，其他各边都在此直线的同旁，那么这个多边形叫做凸多边形;定义二：若一个多边形中某个顶点与其他顶点的距离相等，则这个多边形叫做等距多边形，这个顶点叫做多边形的等距点. 如图1，在5 × 5的网格中有A，B两点，过点A，B作等距四边形，使得点B为等距点的等距凸四边形有个. （四边形各个顶点均落在格点上）

解析：要数图2中的线段数，需要从左到右数起，首先以A为起点有AB，AC，AD，AE;然后跨过A，以B为起点有BC，BD，BE;接着跨过B，以C为起点有CD，CE;最后是DE. 而将数线段转换为数等距四边形，遵循有序化原则求解即可. 在图1的网格中找到所有潜在格点C，D，E，F，G，H，I，如图3所示. 此题即为：在这七个点中选出两个与A，B组成以B为等距点的等距凸四边形有多少个？

遵循有序性原则，按顺时针方向旋转，依次观察. 含有C：BAC-D，BAC-E，BAC-F（三角形，舍），BAC-G（三角形，舍）， BAC-H，BAC-I;跨过C且含有D：BAD-E，BAD-F（三角形，舍），BAD-G（凹四边形，舍），BAD-H（三角形，舍），BAD-I;跨过D且含有E：无（三角形或凹四边形，舍）;跨过E，F（A，B，F三点共线）且含有G：BAG-H，BAG-I;跨过G且含有H：BAH-I;跨过H：只剩I点，无四边形. 综上所述，共有9个满足条件的等距凸四边形. 故应填9.

[同类演练]

1. （第6届八年级初赛）方程[x+1+x+99+x+2=2017]共有个解.

2. （第6届七年級初赛）求满足条件[abc=5a+b+c]的所有三元质数数组[（a，b，c）].

答案：1. 2

2. 满足条件的三元质数数组共六个，分别为（2，5，7）（2，7，5）（5，2，7）（7，2，5）（5，7，2）（7，5，2）.

（全国中小学数学创新应用大赛组委会供稿）