一个新型的带自相容源的变系数(3+1)维KP方程

温丹华，　郑道都

(1.郑州师范学院 数学与统计学院　河南 郑州 450044； 2.商丘职业技术学院　河南 商丘 476000)



一个新型的带自相容源的变系数(3+1)维KP方程

温丹华1，郑道都2

(1.郑州师范学院 数学与统计学院河南 郑州 450044； 2.商丘职业技术学院河南 商丘 476000)

摘要：通过引进关于自变量y的任意函数，利用源生成法构造了一个新型的带自相容源的变系数(3+1)维KP方程.

关键词：变系数(3+1)维KP方程； 源生成法； Hirota方法

0引言

自上世纪八十年代起，如何构造和求解带自相容源的孤子方程成为学者关心的一个重要问题，文献[1—3]提出的源生成法是解决这类问题行之有效的方法.文献[4]给出了变系数(3+1)维KP方程的Wronskian和Grammian解，文献[3]利用源生成法给出了一个关于自变量t的普通类型的带自相容源的变系数(3+1)维KP方程.

本文用源生成法来构造和求解一个关于自变量y的新型的带自相容源的变系数(3+1)维KP方程，首先考虑变系数(3+1)维KP方程

(ut+s(t)uux+m(t)uxxx)x+h1(t)uyy+h2(t)uzz=0，

(1)

(2)

其中D是Hirota双线性算子，且方程(2)有Grammian解[4—5]，

fN=det(aij)1≤i≤j≤N，aij=δij+∫xφiφjdx，δij=constant，

(3)

其中函数φi、ψj满足如下关系：

φiy=c1(t)φixx；φiz=c2(t)φixx；φit=-4m(t)φixxx，

(4)

ψjy=-c1(t)ψjxx；ψjz=-c2(t)ψjxx；ψjt=-4m(t)ψjxxx，

(5)

1一个新型的带自相容源的变系数(3+1)维KP方程

根据源生成法的步骤，对(3)式中的函数f作如下改变，

fN=det(aij)1≤i≤j≤N，

(6)

f=pf(1,2,…,N,N*,…,2*,1*)≡f(·)，

其中pfaff式的元素定义为

此时，引进新的函数Gj和Hj，其定义如下：

(7)

(8)

(9)

上述实证检验的结果表明，研发投入和营销投入对公司主营业务利润的影响既有共性又有个性。共性在于，研发投入和营销投入对主营业务利润的影响都具有一定的滞后效应；个性在于，研发投入对主营业务利润的滞后效应是正向的，而营销投入对于主营业务利润的滞后效应是负向的。

(10)

(11)

其中：

定理1式(6)、(8)、(9)所定义的函数f、Gj、Hj满足以下双线性方程：

(12)

Dxkj·f+GjHj=0，

(13)

(14)

(15)

(16)

(17)

(18)

(19)

证明利用pfaff式技巧和色散关系式(4)和式(5)，得如下的微分公式：

把以上微分公式代入双线性方程(12)中，得到pfaff恒等式的和：

由此说明方程函数(12)成立.

同理可证函数f、Gj和Hj满足双线性方程(13)～(19).

因此方程(12)～(19)构成了双线性的新型的带自相容源的变系数(3+1)维KP方程，而式(6)、(8)和(9)中定义的函数f、Gj、Hj就是方程(12)～(19)的行列式解.

则式(12)～(19)转化为非线性发展方程：

(ut+s(t)uux+m(t)uxxx)x+h1(t)uyy+h2(t)uzz=

χjx+φjψj=0，

其中j=1,2,…,K.此方程即是新型的带自相容源的变系数(3+1)维KP方程.

参考文献：

[1]HU X B, WANG H Y. New type of KP equation with self-consistent sources and its bilinear transformation[J]. Inverse problems, 2007,23(4):1344—1444.

[2]王红艳，胡星标.带自相容源的孤立子方程[M].北京：清华大学出版社，2008:16—21.

[3]温丹华，赵晓焱. 一个带自相容源的变系数(3+1)维KP方程 [J].郑州大学学报(理学版)，2014,46(1):21—24.

[4]徐娟.变系数(3+1)维KP方程的Wronskian和Grammian解[J].温州大学学报(自然科学版)，2013,34(1):13—17.

[5]孟祥华. 基于符号计算的光纤通信等若干领域中变系数非线性模型的研究[D].北京：北京邮电大学，2009：124—125.

(责任编辑：方惠敏)

A New (3+1) Dimensional KP Equation with Variable Coefficients with Self-consistent Source

WEN Danhua1，ZHENG Daodu2

(1.SchoolofMathematicsandStatistics，ZhengzhouNormalUniversity,Zhengzhou450044,China;2.Shangqiupolytechnic,Shangqiu476000,China)

Abstract:A new (3+1) dimensional KP equation with variable coefficients with self-consistent source was constructed with source generation procedure.

Key words:(3+1) dimensional KP equation with variable coefficients；source generation procedure；Hirota bilinear method

收稿日期:2015-07-01

基金项目:国家自然科学基金资助项目(10871186).

作者简介:温丹华(1986—)，女，助教，硕士，主要从事孤立子与可积系统研究，E-mail: wendahua@126.com.

中图分类号：O175.29

文献标志码：A

文章编号：1671-6841(2016)01-0037-04

DOI:10.3969/j.issn.1671-6841.201507003

引用本文：温丹华，郑道都.一个新型的带自相容源的变系数(3+1)维KP方程[J].郑州大学学报(理学版)，2016，48(1)：37—40.