如何引导小学生理解方程中的等量关系

张红艳，申星，张小芳

(1.湖南科技大学 数学与计算科学学院，湖南 湘潭 411201；2.溆浦县屈原学校，湖南 溆浦 419300)



如何引导小学生理解方程中的等量关系

张红艳1，申星1，2，张小芳1

(1.湖南科技大学 数学与计算科学学院，湖南 湘潭 411201；2.溆浦县屈原学校，湖南 溆浦 419300)

摘要：列方程解实际问题是小学数学教学的难点之一，对等量关系的正确理解是建立方程的关键。在教学实践中，要引导学生抓住题目中的关键词、运用有关公式、在情景图或以文字叙述的实际问题中捕捉信息，提炼出等量关系。

关键词：小学数学；方程教学；等量关系

小学数学是学生数学学习的初级阶段，小学数学基础及数学思维、数学感觉直接影响学生在初、高中的数学学习兴趣、数学基础和数学感悟能力的培养，如何有效解决小学数学教学疑难问题一直是一线教师十分重视的问题[1]。为此，我校五年级数学备课组在“创建优质有效备课组”项目实施过程中，通过集体备课，把每个教师的个性与智慧集中起来，实现教师的个性互补，使[2-3]不同层次的教师得到更好的提高，有效解决教学中出现的疑难问题,优化教学设计,提高课堂教学效率。

“解实际问题”与“列方程解实际问题”一直是小学数学教学中的难点。“方程教学”对一个具体直观思维还在唱主导的小学生来说，是有一定的理解难度的。如果教学中不重视知识点间的内部关系，不注重引导学生去思考分析条件与结论的浅易关系，要把方程学好、学出特色，是困难的。本文就如何在方程教学中引导学生抓住题目中的关键词、运用有关公式、在情景图或以文字叙述的实际问题中捕捉信息，提炼出等量关系列方程解决问题进行了探讨与研究，旨在帮助学生轻松准确地用简易方程解决实际问题，破解方程教学的瓶颈。

1 小学数学中列方程解决实际问题教学现状

小学数学阶段解决实际问题的思考方法有两种，一是算术法，二是方程法。两者的共同点都是以四则运算和常见的数量关系为基础，都需要分析数量关系。而它们的区别主要在于：算术方法解决实际问题时，未知数始终作为一个“目标”，不参与整个的列式运算，只能用已知数和运算符号组成算式，所以在复杂的实际问题中，列式费思考，解题思路也常常迂回曲折，局限性较大。列方程解决实际问题时，未知数能以一个字母为代表和已知数一起参加整个的列式运算，所以解题思路更加直截了当，降低了思维难度，适用面广。但小学生较长时期用算术方法解决问题，初学列方程解决实际问题时，由于思维定势的影响，解题思路仍停留在用算术方法解决实际问题上——列出与算术解法完全一样的特殊方程。

例1小明在跳远中破纪录啦！成绩为4.21 m，超过原纪录0.06 m。学校原跳远纪录是多少米？

当笔者将这个问题的幻灯片一展示出来，学生马上就举起小手，争先恐后发表自己解决问题的方法，然而大多数学生轻而易举地列出4.21-0.06=x这样的方程，将未知数x单独放在等号的一边，而全部的已知数放在等号的另一边。

因此，要把学生从算术列式的思维定势中牵出来，进到列方程解决实际问题的思路上去，这就成了小学数学中方程教学的重点和难点。经过多年的教学实践，笔者认为这个难点的破解之法就是引导学生对数学实际问题中“等量关系”的准确认识和把握。

2小学数学方程解决实际问题破难的思考

从以上的分析可以知道小学生在初列方程解决实际问题时容易受算术解法的影响，列出与算术解法完全一样的特殊方程。要解决这个问题,主要是引导学生准确认识题中的数量关系，进而找到它们间的等量关系。找出等量关系是准确列出方程的关键。根据小学数学教材与小学生的认识水平，可从以下几个方面来引导学生思考。

2.1抓住题中关键词语,揭示等量关系,布列方程

教学中,引导学生在认真审题、理解题意的基础上,抓住题中的关键词语，筛选出相关信息，为找等量关系、布列方程做先期准备。

例2王阿姨到超市买了苹果与梨各2 kg，共10.4元。梨每千克2.8元，苹果每千克多少钱？

题中已知条件和未知条件，学生很明确。需要做的是：

首先，要引导学生弄清楚两个概念： 一是买2 kg梨，梨的“总价”是多少，即2.8×2；二是买2 kg苹果，苹果总共花了多少钱， 即10.4-(2.8×2)。

其次，引导学生弄懂 “共”的意思。“共”，即“苹果的总价” + “梨的总价” = 共用10.4元。

再考虑苹果“总价”与苹果“单价” 和苹果“数量”的关系。苹果单价是未知的，就可以用字母来代替(设苹果每千克x元)。 总价 = 单价×数量， 即苹果总价为2x元。有了以上概念的理解基础， 根据题意不难得出等式，也就是我们要列的方程：2x+2×2.8=10.4。

由于抓住了题中的“总价” “共”等关键词,学生对题目中的等量关系看得很明白,列出方程就没有了问题。

在小学数学范围内，实际问题中的数量关系一般是“和”“差”“倍数”等关系。常用的数学术语有“一共”“比……多”“比……少”“是……倍”“是”“为”，解题时，引导学生抓住这些数学术语来找等量关系，列方程的难点就破击了。

例3世界上最大的洲是亚洲，面积是4 400 万km2,最小的洲是大洋洲，亚洲的面积比大洋洲的面积的4倍还要多812 万km2。大洋洲的面积是多少万km2？

引导学生抓住其中的数学术语“比……多”，很容易发现本题的等量关系：大洋洲面积的4倍+812=亚洲的面积。有了这个等式，再根据题意，已知的用具体的数，未知的用字母代替(设大洋洲的面积为x 万km2)。水到渠成，方程就这样得出：4x+812=4 400。

2.2指导学生用画图来找等量关系

五年级学生尚处在以形象思维为主、抽象思维启蒙的过渡时期。教学中采用画线段图来分析数量关系正是基于该阶段学生的“直观形象”的学情特点而采取的。特别是“行程问题”和“修路的工程问题”等，线段图能使其中的数量关系更直观形象地呈现出来，学生找等量关系就很容易了。

例4小林家和小云家相距4.5 km。周日早上9∶00两人分别从家骑自行车相向而行，小林每分钟骑250 m，小云每分钟骑200 m。两人何时相遇？

分析：小林骑行的路程+小云骑行的路程=两家的距离，即V小林× t小林+V小云× t小云=4.5 km。

解：设x小时后两人相遇，那么

0.25 x + 0.2 x = 4.5

用方程解决实际问题在分析题目时，不必先急于设未知数，而应该是先弄清题意，找出能代表整个题意的等量关系；更不能用一句总结性的话去告诉学生“问题怎么问就怎么设”，而应该是根据等量关系中的未知量来设未知数，这样列方程才更容易，解决问题才会更方便。

2.3根据常见的“数量关系”或公式来找等量关系

在用算术方法解决实际问题时，学生已经掌握了不少常见的基本“数量关系”，形成了做题过程中的基本公式。如：单价×数量=总价、速度×时间=路程 、工作效率×工作时间=工作总量、总量-剩下的=用完的、单产量×数量=总产量、已完成的+剩下的=要完成的、本金×利率×时间=利息 、方砖的面积×块数=所铺地面的面积 、车轮的周长×转数=所行的路程 、规则几何图形的面积、周长公式等等。这些公式其实就是等量关系的具体化。教学中引导学生紧扣这些公式，便能列出方程。

例5长风电扇厂计划生产2 800台电扇。前6天已经生产了672台，照这样计算，还要生产多少天才能完成任务？

分析：本题涉及工作总量、工作效率、工作时间三个量之间的关系。此题的数量(等量)关系应该是：计划生产的= 已生产的+还要生产的 ，工作效率=工作总量÷工作时间。所以很容易得到前6天的生产速度(工作效率) = ( 672 ÷ 6 )。如果设还需要t天才能完成任务，那么本题的数量关系应该是：

672+(672÷6)×t = 2 800

引导学生寻找等量关系的方法很多，这里虽然只探讨了三种方法，但更重要的是为了强调这样一种意识，即小学数学方程教学中，一定要重视等量关系的分析和引导，它是破解方程教学瓶颈的一个重要方法[4]。因为学生掌握了通过正确理解等量关系来建立方程的方法，不仅在当前阶段能轻松准确地用简易方程解决实际问题，也为将来学习多元方程组、高次方程、不等式组、函数解决实际问题做好了铺垫。

总之，今天的新课程教学，要求的是学生全面、持续、和谐发展，注重的是学生运用知识解决实际问题的能力。讲清知识点的内部结构关系正是新课程教学的理念使然。我们必须从学生已有的生活经验出发，为学生提供更多有价值的数学学习，让学生在解决问题的学习过程中，实现真正意义上的全面发展，为学生终身学习打下坚实的基础。

参考文献：

[1] 中华人民共和国教育部.数学课程标准(2011年版)[M].北京:北京师范大学出版社，2011.

[2] 宋文权,张玉兰.集体备课与教师的专业发展[J].江苏教育研究,2010(3):47-50.

[3] 刘为举.提高集体备课有效性的策略[J].教学与管理,2009(19):39-41.

[4] 李雅芬.集体备课的瓶颈与突破策略[J].教育理论与实践,2011(17):45-46.

(责任校对游星雅)

doi:10.13582/j.cnki.1674-5884.2016.04.008

收稿日期：20151226

基金项目：湖南省教育科学规划课题(XJK013CZXX071)

作者简介：张红艳(1974-)，女，湖南溆浦人，中学一级教师，主要从事初等数学的教学与研究。

中图分类号：G622

文献标志码：A

文章编号：1674-5884(2016)04-0024-03