重视变式训练拓展学生思维

◇　山东　杨　希



重视变式训练拓展学生思维

◇山东杨希

变式训练的核心是通过变式的构造,将数学知识生成和发展的演变过程表示出来,并将解题思路和易错点揭示给学生．通过变式训练的设置,我们可以增加标准试题中的干扰因素,增强学生解题的逻辑思维能力,提高学生分析问题、解决问题的能力．同时,变式训练也有效提高了数学训练效率,实现了新课改要求的减负目标．在本文中,我们将从高中数学实践角度出发,对数学训练中的变式训练进行探讨,实现对学生数学思维的拓展训练．

1本质不变,更换表述

在传统的高中数学训练中,我们往往采用题海战术,但这样的训练方式不仅枯燥,而且缺乏高效性．有些学生做了大量数学题,但一碰到新题时还是无从下手,很多时候题目只是换了一种说法,就给解题带来了阻碍．对此,我们在变式训练实施过程中,采取本质不变、更换表述的形式,深化学生对变式习题的认识．

图1

变式过点A(-6,0)的动直线l1与过点B(2,0)的动直线l2和x轴围成的△PAB中,PO始终平分∠APB,试求点P的轨迹方程．

很多学生做到这里就终止了,细心的同学可以发现我们还缺乏对定义域的判定．当方程过原点时,点P与原点重合,故可知x≠0．由于题意可知,当点P落于x轴上除线段AB以外的任意一点处均有∠APO=∠BPO=0．所以,这也是本题成立的一种特殊情况,即在方程y=0(x<-6及x>2)时成立．故本题的最终答案即上述二者的综合．

通过此类换汤不换药的变式训练,学生们对题目表述的认识越发深刻,审题及解题思路越发清晰．

2题设不变,改变解法

变式训练不仅指对题目的改变,针对相同的一道习题使用不同的解法,同样可以实现变式训练的目的,也就是我们所说的一题多解．通过一题多解式的变式训练,可以激发学生数学解题的潜能与积极性,对学生创新能力及综合能力的培养作用显著．在日常的高中数学教学中,我们不妨利用相同的题目,通过解法的变化达到有效的变式训练作用．

设函数g(x)=x2+2x+a，则g(x)在[1,+∞)递增,由二次函数的性质可知,在x=1时,gmin(x)=3+a．此时,要想保证x2+2x+a>0恒成立,即是要保证3+a>0,最终可以得到a>-3．

方法2在法1的基础上,对x2+2x+a>0的形式进行改编,由原式恒成立进一步可得a>-x2-2x恒成立．故可得a>h(x)=-x2-2x,在x∈[1,+∞)时恒成立．而在该定义域内,hmax(x)=-3,故a的取值范围是(-3,+∞)．

方法3首先对函数表达式进行化简,即

在定义域x∈[1,+∞)中,当a≥0时函数f(x)的值恒为正;当a<0时,函数f(x)为增函数,故x=1时函数可以取到最小值fmin(x)=3+a,当且仅当3+a>0时恒成立,即是a>-3．

从本题的求解来看,面对相同的一道题目,我们采取了多样化的求解方式．在实际训练过程中,我们同样可以采用类似的一题多解变式训练,帮助学生拓展自身的解题思维．

3逐层深入,改变提问

高中数学变式训练的核心在于变式构造,将数学问题发展演变的思路揭示给学生．在日常的变式训练中,我们最常使用的就是递进式变式,通过对提问难度的逐层增加,实现变式训练在数学思维与解题方法上的教学目的．

变式已知sin4x+cos4x=23/32,试求sinx-cosx的值．

sin4x+cos4x+2sin2xcos2x=1,

题目经过变式改编后,其难度得到了适当提高．首先由关系式sin4x+cos4x=23/32可得

(sin2x+cos2x)2-2sin2xcos2x=23/32,

即sinxcosx=±3/8．

然后针对2个值进行讨论分析:

当sinxcosx=3/8时,

当sinxcosx=-3/8时,

虽然只是小小的改变,但题目的难度和复杂性却得到了显著提高,此类变式可以在数学复习阶段广泛采用,可以显著提高习题课的效率．

总之,在高中数学训练中,很多问题都是同根同源的．在训练设计上,我们必须秉承新课改理念,优化变式训练实效性,在实际教学过程中有目的、有原则、有方法地推进变式训练在高中数学解题中的使用．唯有从学生角度出发,实施综合性、创新性的变式教学,才是拓展学生思维的有效方式．

(作者单位：山东省淄博市周村区实验中学)