广义松弛拟单调映射以及广义松弛拟凸函数

蒲思思，何诣然

广义松弛拟单调映射以及广义松弛拟凸函数

蒲思思，何诣然*

(四川师范大学数学与软件科学学院，四川成都610066)

介绍集值映射在赋范空间中的一种新的单调性，称之为广义松弛拟单调.运用KKM理论，证明变分不等式在新引入的单调映射下解的存在性.此外，还证明广义松弛μ拟凸函数的次微分是广义松弛μ拟单调的.

变分不等式;广义松弛拟单调算子;广义松弛拟凸函数;次微分

1 预备知识

本文所讨论的变分不等式模型为:寻找x∈K使得

其中，K是赋范空间X中的非空凸子集，X*表示X的对偶空间，集值映射T:K→2X*{Ø}.为了方便，用VI(T，K)来表示问题(1).

近年来，学者们深入研究了变分不等式问题解的存在性.为了证明变分不等式有解，许多学者对映射T提出了各种广义单调性假设，如伪单调性、拟单调性、真拟单调性、稠密伪单调性，可参考文献［1－6］.文献［7－9］证明了当T是稠密松弛μ伪单调单值映射时，变分不等式的解集非空.文献［10］讨论了变分不等式模型中的集合无界时，在映射具有伪单调或者拟单调性质时，加上某些强制性条件则可保证变分不等式的解集非空.在文献［11］中，Y.P.Fang等提出松弛η－α单调，并且证明了在自反的Banach空间中，当映射T是松弛η－α单调时，似变分不等式问题解的存在性.文献［12］提出松弛η－α伪单调映射，并且论证了在自反的Banach空间中，当映射T是松弛η－α伪单调时，似变分不等式问题的解集非空.在文献［13］中，M.R.Bai等提出松弛μ拟单调集值映射，并且证明了在这种映射下变分不等式解的存在性.文献［13］还提出一类松弛拟凸函数，并证明了这类函数的次微分是松弛拟单调的.当T是单值映射且具有松弛η－α拟单调性或松弛η－α真拟单调性时VI(T，K)解的存在性情况首次在文献［14］中被提及.

受文献［7－9，13－14］的启发，在本文中提出了广义松弛拟单调映射.对于这样的映射，证明了VI (T，K)解的存在性，并将广义松弛拟单调映射的相关结论延伸到了松弛φ拟单调映射.引入广义松弛μ拟凸函数，并证明了这类函数与其对应次微分的广义松弛μ拟单调性之间的等价关系.本文的结论推广了文献［7－9，13－14］中的相关结果.

2 具有广义松弛拟单调映射的变分不等式问题

给定x，y∈X，线结［x，y］表示下面的集合

集值映射T:K→2X*{Ø}被称为沿线结上半连续的，如果映射T限制在集合K的每一个线结上是关于X*的弱*拓扑上半连续的.用S(T，K)表示VI(T，K)的解集

用LM(T，K)表示对偶变分不等式的局部解［5］其中N(x)是x的邻域系.

下面的定义1推广了文献［9，13］中的定义1.1.除非特别说明，本文总是假设μ＞0，α＞1.

定义1集值映射T:K→2X*{Ø}被称为广义松弛μ拟单调的，如果对任意x，y∈K和x*∈T(x)，y*∈T(y)有如下蕴含关系成立

同样地，给出广义对偶变分不等式问题:寻找x∈K使得

其中，RM(T，K)表示x∈K且满足(2)式的所有x的集合.

下面的定义2推广了文献［13］中的定义2.1.

定义2集值映射T:K→2X*{Ø}被称为广义真松弛μ拟单调的，如果对任意x1，x2，…，xn∈K和任意x∈co{x1，x2，…，xn}，存在i∈{1，2，…，n}使得∀x*∈T(xi)，〈x*，xi－x〉≥－μ‖xi－x‖α.

命题1如果T:K→2X*{Ø}是广义真松弛μ拟单调的，则它是广义松弛μ拟单调的.

证明假设对任意x，y∈K，存在x*0∈T(x)使得〈x*0，y－x〉＞0.取xt=x+t(y－x)∈co{x，y}，t∈(0，1).因为T是广义真松弛μ拟单调的，对任意的t∈(0，1)，可以得到

或者

然而(3)式蕴含由于α＞1，当t∈(0，1)充分小时，该式显然与〈x*0，y－x〉＞0矛盾.因此，对充分小的t∈(0，1)有(4)式成立.对(4)式取极限t→0+得

〈y*，y－x〉≥－μ‖y－x‖α，∀y*∈T(y)，即T是松弛μ拟单调的.

为了帮助后面的证明，给出下面的定义和引理(参见文献［13，15］).

定义3集值映射G:K→2X被称为是KKM映射，如果对任意x1，x2，…，xn∈K有下式成立

引理2设K是X的非空凸子集，如果T:K→2X*{Ø}是具有弱*紧值的沿线结上半连续的集值映象，则有

证明设x∈RM(T，K)，由RM(T，K)的定义有

取zt:=x+t(y－x)∈K，其中t∈(0，1)，则对任意的其中，co{x1，x2，…，xn}表示{x1，x2，…，xn}的凸包.

引理1假设K是Hausdorff拓扑向量空间X的非空紧凸子集，K0是K的非空子集，G:K0→2K是一个KKM映射，如果对任意x∈K0，G(x)在X中是闭的，则有∈T(z)有t

因此当t充分小时

因为T是沿线结上半连续的，取极限t→0+，可以推出

因为T具有弱*紧值，因此

故对任意y∈K，存在x*∈T(x)有〈x*，y－x〉≥0.所以x∈S(T，K).故RM(T，K)⊆S(T，K).

对每一个广义松弛μ拟单调映射，有如下命题成立.

命题2设K是赋范空间X中的非空凸子集，如果T:K→2X*{Ø}是广义松弛μ拟单调映射，则在下面2个命题中至少有一个成立:

1)T是广义真松弛μ拟单调映射;

2)LM(T，K)≠Ø.

证明假设T不是广义真松弛μ拟单调映射，则存在x1，x2，…，xn∈K，x∈co{x1，x2，…，xn}，对任意i∈{1，2，…，n}，存在∈T(xi)使得

又因为x∈co{x1，x2，…，xn}，故

〈z*，z－x〉≥0，∀z∈K∩U，∀z*∈T(z)，这意味着x∈LM(T，K)，因此LM(T，K)≠Ø.

上面的命题2蕴含了本文中相关变分不等式解的存在性的主要结果.

定理1设K是赋范空间X中的非空紧凸子集，如果T:K→2X*{Ø}是具有弱*紧值的沿线结上半连续的广义松弛μ拟单调映射，则S(T，K)≠Ø.

证明由命题2可得LM(T，K)≠Ø或者T是广义真松弛μ拟单调映射.如果LM(T，K)≠Ø，因为T是具有弱*紧值的沿线结上半连续映射，故LM(T，K)⊆S(T，K)(参见文献［5］)，因此S(T，K)≠Ø.另一方面，如果T是广义真松弛μ拟单调映射，定义集值映射G:K→2K{Ø}且

G(x)={y∈K:〈x*，x－y〉≥－μ‖x－y‖α，∀x*∈T(x)}.

根据T的广义真松弛拟单调性，对任意x1，x2，…，xn∈K和任意y∈co{x1，x2，…，xn}，存在i∈{1，2，…，n}，对任意x*i∈T(xi)使得

因此

故G(x)是一个KKM映射.此外，对任意x∈K，G(x)是闭集;因此，如果K是紧集，对任意x∈K，G(x)是紧集.根据引理1可得

这等价于RM(T，K)≠Ø.最后，由引理2可得S(T，K)≠Ø.

接下来，给出定义在无界集上的VI(T，K)解的存在性.对于集值映射T:K→2X*{Ø}考虑如下强制性条件［13］

定理2设K是赋范空间X中的非空无界凸子集，如果T:K→2X*{Ø}是具有弱*紧值的沿线结上半连续的广义松弛μ拟单调映射，且T满足强制性条件(C)，假设存在ρ'＞ρ使得K∩珔B(0，ρ')是非空紧集，则S(T，K)≠Ø.

证明设K'ρ=K∩珔B(0，ρ').由定理1可得S(T，K'ρ)≠Ø.取x0∈S(T，K'ρ)，则‖x0‖≤ρ'.

如果‖x0‖=ρ'，由强制性条件(C)，存在y0∈K∩B(0，ρ')使得对任意y∈K，取yt=(1－t)y+ty0，其中t∈(0，1)，使得yt∈K'ρ，其中K'ρ是凸集.因为x0∈S(T，K'ρ)，则存在∈T(x0)使得

如果‖x0‖＜ρ'，取y0=x0，则可得x0∈S(T，K).

3 具有松弛φ拟单调映射的变分不等式问题

定义4［14］映射T:K→X*被称为是η－α拟单调的，如果存在映射η:K×K→X和函数α:X→R并且对任意t＞0和z∈X有α(tz)=tpα(z)成立，使得对任意x，y∈K有如下蕴含关系成立

其中p＞1是常数.

在定义4的基础上，给出如下松弛φ拟单调映射的定义，该定义推广了本文中的定义1.

定义5集值映射T:K→2X*{Ø}被称为是松弛φ拟单调的，如果对任意x，y∈K，存在x*∈T(x)，对任意y*∈T(y)，存在函数φ:X×X→R且对任意t＞0函数满足φ(x+t(y－x)，x)=tpφ(y，x)，有如下蕴含关系成立

同样地，给出对偶变分不等式问题:寻找x∈K使得

这里用RMφ(T，K)表示x∈K且满足(8)式的所有x的集合.

特例11)如果φ(y，x)=0，则(7)式蕴含

故T是拟单调映射;

2)如果φ(y，x)=－μ‖y－x‖α，则(7)式蕴含故T是广义松弛μ拟单调映射.显然当α=p时φ(x+t(y－x)，x)=tPφ(y，x)成立.

下面，给出如下真松弛φ拟单调映射的定义，该定义推广了本文中的定义2.

定义6集值映射T:K→2X*{Ø}被称为是真松弛φ拟单调的，如果存在函数φ:X×X→R且对任意t＞0有φ(x+t(y－x)，x)=tpφ(y，x)成立，则对任意x1，x2，…，xn∈K和任意x∈co{x1，x2，…，xn}，存在i∈{1，2，…，n}，对任意∈T(xi)使得

命题3如果T:K→2X*{Ø}是真松弛φ拟单调集值映射，假设函数φ:X×X→K关于第二变量是连续函数且φ满足:

1)φ(y，x)=φ(x，y);

2)对任意t＞0，φ(x+t(y－x)，x)=tpφ(y，x)，则T是松弛φ拟单调映射.

证明假设对任意x，y∈K，存在x*0∈T(x)有〈x，y－x〉＞0.取xt=x+t(y－x)，t∈(0，1)，因为T是真松弛φ拟单调映射，对任意t∈(0，1)，可以得到

或者

然而，由(9)式和φ满足的条件可以推出

即T是松弛φ拟单调的.

引理3设K是赋范空间X中的非空凸子集.如果T:K→2X*{Ø}是具有弱*紧值的沿线结上半连续的集值映像，函数φ:X×X→K且对任意t＞0满足

则RMφ(T，K)⊆S(T，K).

证明设x∈RMφ(T，K)，由RMφ(T，K)的定义有

取zt:=x+t(y－x)，其中t∈(0，1)，则有

由(11)式可得

因此，当t充分小时

因为T是沿线结上半连续的，取极限t→0+，可以推出

又因为T具有弱*紧值，因此

也就意味着对任意y∈K，存在x*∈T(x)有〈x*，yx〉≥0.所以x∈S(T，K).故RMφ(T，K)⊆S(T，K).

接下来证明了对每一个松弛φ拟单调映射，有如下命题成立.

命题4设K是赋范空间X中的非空凸子集，如果T:K→2X*{Ø}是松弛φ拟单调映射且函数φ:X×X→K关于第二变量连续并且对任意t＞0满足

则在下面2个命题中至少有一个成立:

1)T是真松弛φ拟单调映射;

2)LM(T，K)≠Ø.

证明假设T不是真松弛φ拟单调映射，则存在x1，x2，…，xn∈K和x∈co{x1，x2，…，xn}，对任意i∈{1，2，…，n}，存在∈T(xi)使得

因为T是松弛φ拟单调映射，则对任意i∈{1，2，

…，n}和任意z*∈T(z)有下式成立

又因为x∈co{x1，x2，…，xn}，故有

这意味着x∈LM(T，K)，因此LM(T，K)≠Ø.

定理3设K是赋范空间X中的非空紧凸集，如果T:K→2X*{Ø}是具有弱*紧值的沿线结上半连续的松弛φ拟单调映射，函数φ:X×X→K满足:

1)φ是非对称的，则φ(y，x)=φ(x，y)，∀x，y∈X;

2)φ满足φ(x+t(y－x)，x)=tpφ(y，x)，∀x，y∈X，t＞0;

3)φ关于第二变量连续，

则S(T，K)≠Ø.

证明由命题4可得LM(T，K)≠Ø或者T是真松弛φ拟单调映射.如果LM(T，K)≠Ø，因为T是具有弱*紧值的沿线结上半连续的松弛φ拟单调映射，故LM(T，K)⊆S(T，K)(参见文献［5］)，因此S(T，K)≠Ø.另一方面，如果T是真松弛φ拟单调映射，定义集值映射G:K→2K{Ø}满足

G(x)={y∈K:〈x*，x－y〉≥

φ(y，x)，∀x*∈T(x)}.

根据T的松弛φ拟单调性可知，对任意x1，x2，…，xn∈K和任意y∈co{x1，x2，…，xn}，存在i∈{1，2，…，n}，对任意∈T(xi)使得

因此故G(x)是KKM映射.此外对任意x∈K，G(x)是闭集;因此，如果K是紧集，对任意x∈K，G(x)也是紧集.由引理1得这意味着RMφ(T，K)≠Ø.最后，由引理3易得S(T，K)≠Ø.

同样给出了定义在无界集上的具有松弛φ拟单调映射的VI(T，K)解的存在性.

定理4设K是赋范空间X中的非空无界凸子集，如果T:K→2X*{Ø}是具有弱*紧值的沿线结上半连续的松弛φ拟单调映射且满足强制性条件(C)，假设存在ρ'＞ρ使得K∩珔B(0，ρ')是非空紧集，函数φ:X×X→K满足:

1)φ是非对称的，则φ(y，x)=φ(x，y)，∀x，y∈X;

2)φ满足φ(x+t(y－x)，x)=tpφ(y，x)，∀x，y∈X，∀t＞0;

3)φ关于第二变量连续，

则S(T，K)≠Ø.

证明设K'ρ=K∩珔B(0，ρ').由定理3可得S(T，K'ρ)≠Ø.取x0∈S(T，K'ρ)，则‖x0‖≤ρ'.如果‖x0‖=ρ'，由强制性条件(C)得，存在y0∈K∩B(0，ρ')使得

对任意y∈K，取yt=(1－t)y+ty0，其中t∈(0，1)，使得yt∈K'ρ，其中K'ρ是凸集.因为x0∈S(T，K'ρ)，则存在∈T(x0)使得

如果‖x0‖＜ρ'，取y0=x0，则可得x0∈S(T，K).

4 广义松弛μ拟凸函数

在非光滑松弛拟凸函数的基础上，给出了非光滑广义松弛μ拟凸函数的相关内容.除非特别说明，在这部分内容中总是假设X是具有ɚ－光滑再赋范［16］的Banach空间，函数f:X→R∪{+∞}是下半连续的，ɚf表示函数f的任意次微分(参见文献［16］).

定义7下半连续函数f:X→R∪{+∞}被称为是广义松弛μ拟单调的，如果对任意x，y∈X有如下蕴含关系成立

引理4［16］设a，b∈X且a∈dom f，a≠b，设r∈R使得r≤f(b)，则存在c∈［a，b］，c≠b以及序列xn→c，x*n∈ɚf(xn)使得

并且

命题5设X是具有ɚ－光滑再赋范的Banach空间，函数f:X→R∪{+∞}是下半连续的，如果ɚf是广义松弛μ拟单调映射，则f是广义松弛μ拟凸函数.

证明假设ɚf是广义松弛μ拟单调映射，设x∈domɚf，y∈dom f，x≠y以及z∈［x，y］，z≠y使得

则可以找到μ0＞μ使得

取

并对y，z运用引理4可知存在c∈［y，z］且c≠z以及序列xn→c和∈ɚf(xn)满足

并且

取u=c+t(z－y)，其中t＞0.因此

特别地，取u=x，由于

结合该式与(14)式易得

由(15)式，总可以找到μ2＞μ1＞μ0使得

这意味着当n充分大时

此时显然有如下式子成立

又因为ɚf是广义松弛μ拟单调映射，故对任意的x*∈ɚf(x)，当n充分大时〈x*，x－xn〉≥0.取极限n→+∞，则有

因此

故由定义知f是广义松弛μ拟凸函数.

命题6假设ɚ是使得ɚf(x)⊆ɚ†f(x)(参见文献［17］)成立的任何次微分，其中

如果f是广义松弛μ拟凸函数，则ɚf是广义松弛μ拟单调的.

证明显然，只需证明ɚ†f是广义松弛μ拟单调的.假设x，y∈X，存在x*∈ɚ†f(x)使得〈x*，y－x〉＞0，去证明

上述假设条件蕴含对任意w∈X充分趋近于y时有〈x*，w－x〉＞0成立.根据函数f的松弛μ拟凸性，易得

由(17)式，取y:=w+t(x－w)，∀t∈［0，1］可以推出

根据(18)式，取v:=x－y且根据ɚf的定义，对任意的y*∈ɚ†f(y)有下式成立

显然，(19)式蕴含(16)式.这意味着ɚ†f是广义松弛μ拟单调的.

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Generalized Relaxed Quasimonotone Mappings and Generalized Relaxed Quasiconvex Functions

PU Sisi，HE Yiran
(College of Mathematics and Software Science，Sichuan Normal University，Chengdu 610066，Sichuan)

In this paper，we introduce a broader class of multivalued generalized relaxed quasimonotone mappings in normed spaces.Using the KKM technique，the existence of solutions of variational inequalities for such operators is established.Furthermore，it is proved that the subdifferential of generalized relaxed μ quasiconvex functionis generalized relaxed μ quasimonotone.

variational inequalities;generalized relaxed quasimonotone operators;generalized relaxed quasiconvex functions; subdifferentials

O177.92;O22

A

1001－8395(2016)03－0337－07

10.3969/j.issn.1001－8395.2016.03.007

(编辑李德华)

2015－04－15

国家自然科学基金(11271274)

*通信作者简介:何诣然(1973—)，男，教授，主要从事非线性规划领域的研究，E－mail:yrhe@sicnu.edu.cn

2010 MSC:58E35