一类幂函数的半共轭

石勇国，钟韬

一类幂函数的半共轭

石勇国1，钟韬2

(1.信阳师范学院数学与信息科学学院，河南信阳464000;2.四川交通职业技术学院，四川成都611130)

运用动力系统方法得到了一种新的实数表示.利用这种实数的表示，给出了幂函数ft:［－1，1］→［－1，1］，ft(x)=2|x|t－1，t＞0到f1(x)=2|x|－1的半共轭的精确表达式.

区间映射;半共轭;幂函数;实数表示;共轭方程

设I和J是紧区间.若共轭方程φ°f=g°φ存在连续解φ:I→J，则称自映射f:I→I和g:J→J是拓扑半共轭，简称f半共轭于g.连续映射φ称作拓扑半共轭，简称半共轭.进一步，如果连续映射φ是双射，那么称f和g是拓扑共轭，简称f共轭于g.

如果2个映射共轭，则它们具有相同的动力学性质;如果f半共轭于g，则映射f的动力学性质至少像g那样复杂.这样，考虑某个映射的动力学性质，一般先将这个映射(半)共轭到最简单的映射，即是所谓的正规型.

W.Parry［1］首先给出了关于区间映射共轭的经典结果:若多峰映射f是传递的，则f共轭于一个斜率为±s的逐段线性映射，其中log s为f的拓扑熵.后来，J.Milnor等［2］进一步给出了半共轭的结果:如果f是连续的逐段单调的区间映射，拓扑熵log s＞0，则f半共轭于一个斜率为±s的逐段线性映射，而且这样的半共轭是单调的.J.F.Alves等［3］指出这样的单调半共轭不唯一.

不妨设I:=［－1，1］，考虑区间I上的幂函数ft(x)=2|x|t－1，t＞0，如图1所示.这类映射是一类单谷映射，最简单的形式是逐段线性映射f1(x)=2|x|－1.J.Mycielski［4］利用所谓的零点匹配法［5］构造共轭，证明了:对于1/2≤t≤2，ft共轭于f1;对于0＜t＜1/2，ft不共轭于f1.C.Kawan［6］利用不动点定理得到:对于t＞1，ft共轭于f1.于是有:对于t≥1/2，ft共轭于f1.

D.S.Ou等［7］考虑了单峰映射与帐篷映射的半共轭问题，及其推广.由他们的结论可得到:对于0＜t＜1/2，ft半共轭于f1，而且递增的半共轭存在且唯一.由于无法找到半共轭的精确表达式，他们利用逐段线性的函数序列逼近半共轭.一个有意思的问题是如何准确确定半共轭，这也是求解共轭方程的核心问题之一［8－9］.

本文利用实数的f1展开，对于t＞0，给出了映射ft到f1的半共轭的精确表达式.该方法可以推广到一般的单谷或单峰映射的半共轭问题.无需逼近，即可得到精确的半共轭.

1 实数的f1展开

下面介绍f1展开的概念.它是文献［10］中一类特殊的展开.

考虑区间I=［－1，1］，按照f1的谷点，将它分成2部分:

任意的实数x∈I有下面的展开表达式

不论哪种情形，均有x2∈I.

迭代上面过程，得到一个序列{xn}，这里x1= x，且对于n≥2有

令

于是

这样x可以展开成级数的形式

类似于二进制，对于每个x∈I都可以通过0－1序列{εn}n∈N表示.简记为

容易得到x=－1的f1展开为［1，0，0，0，…］;x=0的f1展开为［1，1，0，0，0，…］;x=1的f1展开为［0，0，0，0，…］.对于每个0－1序列{εn}n∈N，根据上面的展开式，在I上存在唯一一个实数与之对应.

定义关于映射f1展开的柱集.

可以看出这些集合是端点为［ε1，ε2，…，εk，1，0，0，0，…］和［ε1，ε2，…，εk，0，0，0，…］的闭区间.因此这些闭区间的长度为

2 半共轭的精确表达式

定义2.1给定t＞0，一个0－1数列{εn}n∈N称为点x∈I关于映射ft的迹，如果

特别地，当上面定义的映射ft是映射f1时，点x∈I关于映射f1的迹就是f1展开式.

下面给出半共轭的精确表达式

定理2.2给定t＞0，任取点x∈I，设0－1数列{εn}n∈N是点x关于映射ft的迹，则φt:I→I

是映射ft到映射f1的一个半共轭.

利用MATLAB画出φt曲线，如图2所示.

证明首先证明定义的φt满足φt°ft=f1°φt.因为点ft(x)关于映射ft的迹为{ε2，ε3，…，εn，…}，于是

另一方面，若φt(x)≤0，则ε1=1，于是

若φt(x)＞0，则ε1=0，于是

因此，对于所有x∈［－1，1］，都有φt°ft=f1°φt.

再证明φt是区间［－1，1］上的连续的满射.根据迹，容易得到φt(－1)=－1，φt(0)=0和φt(1)=1.下面分3种子情形证明.

情形(i)任取x∈［－1，1］使得对于所有的非负整数k，ft

k(x)≠0.证φt在这样的点x上连续.事实上，由ft的连续性知ft的所有次迭代也连续.任取∊＞0，选择N使得2－(N+1)＜∊.令

存在一个δ＞0使得如果x'∈［－1，1］且|x－x'|＜δ，那么对于k=0，1，2，..，N均有|(x)－(x')|＜δ'.由x， x'的假设，则x，x'关于映射ft的迹在前N+1个位置相同，根据φt的定义有|φt(x)－φt(x')|≤2－(N+1)＜∊.

情形(ii)证φt在点x=0处连续.知道无穷数列{1，1，0，0，0，…}是点x=0关于映射f1的迹;前面N+1个数字具有形式{1，1，0，0，0，…}的迹的点x都落在区间［－1/2N，0］上;前面N+1个数字具有形式{0，1，0，0，0，…}的迹的点x都落在区间［0，1/ 2N］上.同时，点x=0关于映射ft的迹是{1，1，0，0，0，…}.任取∊＞0，选择N使得1/2N－1＜∊.于是对于所有的正整数k，有fk(c)≠c，类似情形(i)的证明，可以找到一个δ＞0使得如果x'∈［－1，1］且|0－x'|＜δ，点x=0和x'关于映射ft的迹至少从第2个位置到前N+1个位置相同.这样φt(x)∈［－1/2N，1/2N］上，由于φt(0)=0，所以|φt(x')－φt(0)|≤1/2N－1＜∊.

情形(iii)讨论x≠0但存在正整数k使得fk(x)=0的所有这样的点，证φ在这样点x处连续.设存在最小的正整数N使得fN(x)=0，记y=0=fN(x).由情形(ii)，φ在这样点y=0处连续，即对于任取∊＞0，存在δ'＞0使得如果y'∈［－1，1］且|y－y' |＜δ'，则有|φt(y)－φt(y')|＜∊.令存在正数δ使得如果x'∈［－1，1］且|x－x'|＜δ，则有|(x)－(x')|＜δ'和(x)－(x')|＜γ，k=0，1，2，..，N－1.这样点x和x'关于映射ft的迹的前N个位置相同.因此，令g－i1表示f1某个单调区间上的逆映射

证毕.

注2.3根据φt公式，容易验证φt(x)≥0当且仅当x≥0.φt(x)=0当且仅当x=0.进一步可得φt(［－1，0］)=［－1，0］，φt(［0，1］)=［0，1］.

注2.4给定0＜t＜1/2，设0＜x0＜1是映射ft的不动点.于是对于任意的x∈［x0，1］，x关于映射ft的迹{0，0，0，…}，所以φt(x)=1.对于任意的x∈［－1，(x0+1)1/t］，x关于映射ft的迹{1，0，0，0，…}，所以φt(x)=－1.

致谢四川师范大学博士科研启动一般项目(2015KYQD314)对本文给予了资助，谨致谢意.

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Semi-conjugacies for a Type of Power Functions

SHI Yongguo1，ZHONG Tao2
(1.College of Mathematics and Information Science，Xinyang Normal University，Xinyang 464000，Henan; 2.Sichuan Vocational and Technical College of Communications，Chengdu 611130，Sichuan)

With the method of dynamical system，we obtain a new representation of real numbers.Using this new real number representation，we obtain the explicit expression of the semi-conjugacy of the power function ft:［－1，1］→［－1，1］，ft(x)=2|x|t－1，t＞0 to f1(x)=2|x|－1.

maps of the interval;semi-conjugacy;power function;real number representation;conjugacy equation

46B20;39B12

A

1001－8395(2016)03－0318－04

10.3969/j.issn.1001－8395.2016.03.003

(编辑周俊)

2015－11－19

国家自然科学基金(11301256)，四川省教育厅科研创新团队基金(14TD0026)和四川省教育厅自然科学一般项目(16ZB0063)

石勇国(1978—)，男，副教授，主要从事函数方程的研究，E－mail:scumat@163.com

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2010 MSC:26A03