基于差分方程理论研究一类离散时间的SEIS传染病模型

陈　娜，马　霞，王晓燕

( 1. 周口师范学院 数学与统计学院，河南 周口 466001；2. 太原工业学院 理学系，山西 太原 030008 )



基于差分方程理论研究一类离散时间的SEIS传染病模型

陈娜1，马霞2，王晓燕1

( 1. 周口师范学院 数学与统计学院，河南 周口 466001；2. 太原工业学院 理学系，山西 太原 030008 )

摘要：运用差分方程的稳定性理论分析了一类离散时间的SEIS传染病模型，该模型是基于欧拉向前差分的方法，对连续时间的模型离散化得到的. 首先，给出了模型所有解的正则性和有界性，以及模型平衡点的存在；其次，利用Jury判据和离散的Lyapunov函数法，证明了当R0< 1时无病平衡点P0的局部和全局渐近稳定性；最后，借助MATLAB软件的数值模拟，讨论了当R0>1时地方病平衡点P1可能是全局渐近稳定的.

关键词：离散时间的SEIS传染病模型；全局渐近稳定性；Lyapunov函数

SEIS传染病模型是一类典型的用于描述具有短暂性免疫疾病的数学模型[1]，如结核病等. 假定把总人口划分为易感者、潜伏者和染病者三类，分别用S(t)，E(t)和I(t)表示这三类人口在t时刻的数量. 设N(t)表示在t时刻的人口总数，则有N(t)=S(t)+E(t)+I(t). 易感者与染病者接触后会被感染细菌，在经过一个潜伏期后开始发病，而潜伏者和染病者均会因失去免疫力而成为易感者. 于是，基于微分方程建立连续时间的SEIS传染病模型为：

(1)

其中，Λ表示人口的输入量，β表示传染率，μ表示自然死亡率，α表示发病率，b和γ分别表示潜伏者和染病者失去免疫率.

在传染病模型中，基本再生数R0经常被作为一个阈值，预测疾病是否趋于流行或最终消灭. 利用再生矩阵的方法[2]，模型(1)的基本再生数定义为

从生物意义上看，R0表示在所有人口均为易感者时，一位染病者在他的整个患病期内所感染且发病的平均人数. 利用构造Lyapunov函数的方法可以证明[1]，模型(1)的无病平衡点是全局渐近稳定的当且仅当R01，而当R0>1时，模型(1)的地方病平衡点是全局渐近稳定的.

通常，许多传染病疫情的数据是按年、月、周或天来收集的，因此，离散时间的传染病模型比连续时间的模型更加符合实际.目前，许多学者对离散时间的传染病模型已经做了广泛的研究[3-7]，如基本再生数的定义、无病平衡点和地方病平衡点的局部和全局稳定性、疾病的持续性等. 基于欧拉向前差分的方法，对模型(1)进行离散化，得到相应的离散时间模型：

其中，N(n)=S(n)+E(n)+I(n). 假设模型(2)中各类人口的初始条件满足：

S(0)>0，E(0)>0 和 I(0)>0.

(3)

1模型的基本性质

首先，为了保证模型(2)所有解的正则性，有下面的引理：

引理1设(S(n),E(n),I(n)),n=0,1,2,...为模型(2)经过初始条件(3)的所有解，则当模型(2)中各参数满足条件：1-β-μ>0，1-μ-α-b>0，1-μ-γ>0时，有S(n)>0，E(n)>0和I(n)>0，对于∀n=0,1,2,....

由模型(2)，有N(n+1)-N(n)=Λ-μN(n)，即N(n+1)=Λ+(1-μ)N(n)，于是，

N(n+1)=Λ+(1-μ)N(n)=

Λ+(1-μ)Λ+(1-μ)2N(n-1)=...=Λ+(1-μ)Λ+...+(1-μ)nΛ+(1-μ)n+1N(0)=

引理2模型(2)经过初始条件(3)的所有解(S(n),E(n),I(n)),n=0,1,2,...均是有界的.

关于模型(2)的平衡点的存在，有：

(4)

下面，将借助模型(4)的稳定性分析结果，得到模型(2)的稳定性态.

2 平衡点的稳定性分析

显然，模型(4)均满足在第一部分得到的结论.下面将讨论模型(4)的无病平衡点P0和地方病平衡点P1的稳定性.

证模型(4)在无病平衡点P0处关于(S(t),E(t),I(t))的Jacobian矩阵为

J(P0)=

由于判别式Δ=(α+b-γ)2+4αβ>0，故λ2和λ3是f(λ)的两个互异的实根.

对于平衡点P0的全局渐近稳定性，通过构造Lyapunov函数的方法来证明.

n=0,1,2,....

(5)

则V0(n+1)沿着模型(4)的轨线关于n的一阶差分方程为

V0(n+1)-V0(n)=

R0(E(n+1)-E(n))+

(6)

J(P1)=

尽管在理论上，能够使用Jury判据来讨论模型(4)在地方病平衡点P1处的局部渐近稳定性，但是由于P1的关系式十分复杂，使得求解矩阵J(P1)的特征方程和特征根的过程十分繁琐. 因此，将在MATLAB软件上借助数值模拟的方法来讨论地方病平衡点P1的稳定性. 选取Λ=10，μ=0.006，α=0.1，b=0.04，γ=0.3，将参数β看作一个变量. 相应地，R0=2.238β，S*=744.6/β，E*=1 256.2-561.2/β，I*=410.5-183.4/β.

定理3对于取定的参数值，当1-μ>β≥0.448时有R0>1，此时模型(4)在地方病平衡点P1处是局部渐近稳定的.

证将选取的参数值代入(7)，可得模型(4)在P1处的Jacobian矩阵为

J(P1)=

最后，为了研究地方病平衡点P1的全局稳定性，在上述取定的参数值下，取β=0.6，模型(4)的基本再生数R0=1.343>1，唯一的地方病平衡点P1=(1 241.0,320.8,104.8). 利用MATLAB软件进行数值模拟，验证模型(4)从任意初始条件出发的所有解均最终趋于平衡点P1，如图1所示. 图1说明模型(4)在地方病平衡点P1处可能是全局渐近稳定的.

3总结

由于离散时间的传染病模型的应用十分方便，使得越来越多的离散模型被用来描述疾病传播过程中的各种问题，但是由于离散模型的动力学性态比较复杂，也使得离散模型的研究与连续模型相比较少.本文运用差分方程的理论，分析了一类离散时间的SEIS传染病模型，得到了模型的若干基本性质，平衡点的稳定性，同时利用数值模拟的方法，验证了模型的稳定性态. 当然，仍有一些问题，如模型的一致持续性、分支现象问题等需要进一步讨论，这将是笔者今后的工作.

图1　地方病平衡点P1的全局渐近性态

参考文献：

[1]MengFan,MichaelYLi,KeWang.GlobalstabilityofanSEISepidemicmodelwithrecruitmentandavaryingtotalpopulationsize[J].MathematicalBiosciences, 2001, 170: 199-208.

[2]VandenDP,WatmoughJ.Reproductionnumbersandsub-thresholdendemicequilibriaforcompart-mentalmodelsofdiseasetransmission[J].MathematicalBiosciences, 2002, 180: 29-48.

[3]ZhouYC,MaZE,BrauerF.AdiscreteepidemicmodelforSARStransmissionandcontrolinChina[J].MathematicalComputerModel, 2004, 40: 1491-1506.

[4]CaoH,ZhouYC，SongB.ComplexdynamicsofdiscreteSEISmodelswithsimpledemography[EB/OL].DiscreteDynamicsinNatureandSociety, 2011,doi: 10.1155/2011/653937.

[5]ZengyunHu,ZhidongTeng,HaijunJiang.StabilityanalysisinaclassofdiscreteSIRSepidemicmodel[J].NonlinearAnalysis, 2012, 13(1): 2017-2033.

[6]XiaMa,YicangZhou,HuiCao.GlobalstabilityoftheendemicequilibriumofadiscreteSIRepidemicmodel[J].AdvancesinDifferenceEquations,2013,42：19.

[7] 曹慧, 周义仓. 具有饱和治疗的离散SEIS结合病模型的动力学性态[J]. 数学的实践与认识, 2014, 44(18): 209-216.

[8] 华东师范大学数学系. 数学分析[M]. 3版.北京: 高等教育出版社, 2001.

[9]ZhaoXQ.Asymptoticbehaviorforasymptoticallyperiodicsemiflowswithapplications[J].CommunicationsonAppliedNonlinearAnalysis, 1996, 3: 43-66.

Research on a discrete-time SEIS epidemic model based on the difference equations theory

CHEN Na1, MA Xia2, WANG Xiaoyan1

(1. School of Mathematics and Statistics, Zhoukou Normal University, Zhoukou 466001,China;2. Department of Science, Taiyuan Institute of Technology, Taiyuan Shanxi 030008,China)

Abstract:This paper analyses a discrete SEIS epidemic model derived from the continuous-time model by using the forward Euler method, which is used the stability theory of the difference equations. Firstly, we give out that the positivity and boundedness of all solutions, and the existence of the equilibrium. Then, by the Jury criterion and the discrete Lyapunov function method, we prove that the disease-free equilibrium P0 is locally and globally asymptotically stable if R0< 1. Finally, with the help of numerical simulations in MATLAB software, we discuss that the endemic equilibrium P1is likely globally asymptotically stable if R0> 1.

Key words:discrete-time SEIS epidemic model;globally asymptotically stable;Lyapunov function

收稿日期：2015-10-30

基金项目：周口师范学院青年科研基金项目(No. zknuB315202)；太原工业学院青年科研基金项目(No. 2015LQ19)

作者简介：陈娜(1986- )，女，河南商丘人，助教，硕士，主要从事传染病动力学研究.

中图分类号：O175

文献标志码：A

文章编号：1671-9476(2016)02-0058-04

DOI：10.13450/j.cnki.jzknu.2016.02.013