一个广义耦合KdV孤子方程的孤子新解

朱晓明，杨　莹，薛春善

(1.周口师范学院 数学与统计学院，河南 周口 466001；2. 郑州航空港经济综合实验区 第二实验中学，河南 郑州 451162)



一个广义耦合KdV孤子方程的孤子新解

朱晓明1，杨莹2，薛春善1

(1.周口师范学院 数学与统计学院，河南 周口 466001；2. 郑州航空港经济综合实验区 第二实验中学，河南 郑州 451162)

摘要：主要考虑一个广义Hirota-Satsuma耦合KdV方程，通过变量代换和Hirota方法，得到广义Hirota-Satsuma耦合KdV方程的N-孤子解，并做出了单孤子和二孤子的图像.

关键词：孤子解; Hirota方法; 广义Hirota-Satsuma耦合KdV方程

在文献[1]中，Hirota和Satsuma导出了一个耦合的KdV方程

(1)

方程(1)就是通常指的Hirota-Satsuma耦合KdV方程，该方程通常描述不同散射关系的两列长波的相互作用, 许多相关的研究已经广泛而深入[1-6]. 本文将考察广义Hirota-Satsuma耦合KdV方程[7]

(2)

该方程的推导是通过引入一个带有三个位势的4×4的谱问题，由零曲率方程得到了一个新的孤子族. 通过变量替换w=v, 方程(2)变成(1). 文献[8-12]表明方程(2)具有孤子解、Lax对、贝克隆变换、哈密尔顿结构等性质. 本文通过Hirota方法[13]得到方程(2)的N-孤子解并做出单孤子和二孤子的图像.

1双线性算子及主要性质

1.1双线性算子的定义

(3)

特别地，当m=n=1时算得

(4)

而当m=0，n=2时有

(5)

1.2双线性算子的性质

1. 函数g(t,x)与自身的奇数次双线性导数为零，即当m+n为奇数时,

(6)

2. 交换函数与双线性导数的顺序，当导数是偶次时其值不变，而导数是奇次时要改变符号

(7)

3. 函数g(t,x)与数1的双线性导数就是通常的导数，即

(8)

4. 两个线性指数函数的双线性导数等于指数相加的线性指数函数的适当倍数，即

(9)

其中

(10)

由此推得相同的线性指数函数的双线性导数为零.即

(11)

2 广义Hirota-Satsuma耦合KdV方程的双线性形式

对于方程(2),通过变换

(12)

方程(2)可以写成如下的双线性方程

(13)

其中f·f表示f与f的共轭，D表示Hirota双线性算子,满足方程(3).

3 N-孤子解

下面利用Hirota方法给出方程(2)的多孤子解. 将f(t,x),g(t,x),h(t,x)以ε小参数展开，得

(14)

将式(14)中合并ε的同次幂，得到一系列的偏微分方程:

(15)

(16)

(17)

···

(18)

(19)

(20)

(21)

···

(22)

(23)

(24)

···

(25)

(26)

(27)

(28)

故方程(2)的单孤子解为

(29)

(30)

(31)

(32)

(33)

g2=eξ1+eξ2+C1eξ1+ξ2+ξ3+θ12+θ13+θ23+C2eξ1+ξ2+ξ4+θ12+θ14+θ24,

(34)

h2=C1eξ1+C2eξ2+C1C2eξ1+ξ2+ξ3+θ12+θ13+θ23+C2C1eξ1+ξ2+ξ4+θ12+θ14+θ24.

(35)

故方程(2)的双孤子解为:

(36)

一般的N孤子解可以由式(12)给出.

(37)

(38)

(39)

(40)

CN+j=Cj, (j=1，...，N).

A1(μ)，A2(μ)表示当uj(j=1,2,...，N)取所有可能的0或1时还需要分别满足条件:

(41)

适当选择参数，由式(29)、(36)分别作出了单孤子和二孤子的图像，见图1、图2.

图1　(u,v,w)是方程(2)在处的单孤子解

参考文献：

[1]Hirota R, Satsuma J. Soliton solutions of a coupled Korteweg-de Vries equation [J]. Physics Letters A, 1981, 85(8): 407-408.

[2]Chowdhury A R, Basak S. On the complete solution of the Hirota-Satsuma system through the'dressing'operator technique [J]. Journal of Physics A: Mathematical and General, 1984, 17(16): L863.

[3]Konopelchenko B, Sidorenko J, Strampp W. (1+ 1)-dimensional integrable systems as symmetry constraints of (2+ 1)-dimensional systems [J]. Physics Letters A, 1991, 157(1): 17-21.

[4]Dodd R, Fordy A. On the integrability of a system of coupled KdV equations [J]. Physics Letters A, 1982, 89(4): 168-170.

[5]Wilson G. The affine lie algebra C(1) 2 and an equation of Hirota and Satsuma [J]. Physics Letters A, 1982, 89(7): 332-334.

[6]Satsuma J, Hirota R. A coupled KdV equation is one case of the four-reduction of the KP hierarchy [J]. J Phys Soc Japan, 1982, 51(10): 3390-3397.

[7]Wu Y, Geng X, Hu X, et al. A generalized Hirota-Satsuma coupled Korteweg-de Vries equation and Miura transformations [J]. Physics Letters A, 1999, 255(4): 259-264.

[8]Fan E. Soliton solutions for a generalized Hirota-Satsuma coupled KdV equation and a coupled MKdV equation [J]. Physics Letters A, 2001, 282(1): 18-22.

[9]范筑军, 伍小明. 广义Hirota—Satsuma偶合KdV方程的四孤子解[J].中山大学学报:自然科学版, 2000, 39(4): 15-18.

[10]任宏峰. 广义Hirota-Satsuma 型耦合KdV方程的精确解[D].郑州大学, 2007.

[11]刘静. 关于广义Satsuma-Hirota 耦合KdV族及其广义Hamilton 结构的研究[D].郑州大学, 2008.

[12]王晓民, 苏道, 毕力格. 广义的Hirota-Satsuma耦合KdV系统的精确行波解[J].内蒙古工业大学学报:自然科学版, 2013(1): 6-10.

[13]Hirota R, Nagai A, Nimmo J. The direct method in soliton theory [M]. Cambridge Univ Pr, 2004.

The new N-soliton solutions of the generalized Hirota-Satsuma coupled KdV equation

ZHU Xiaoming1，YANG Ying2, XUE Chunshan1

(1.School of Mathematics and Statistics, Zhoukou Normal University, Zhoukou 466001,China;2.Second Experimental Middle School,Zhengzhou Airport Economy Zone,Zhengzhou 451162,China)

Abstract:As a application of the Hirota method and the perturbation technique, the soliton solution of a generalized Hirota-Satsuma coupled KdV equation is obtained. Further, figures of some obtained explicit solutions of the generalized Hirota-Satsuma coupled KdV equation are illustrated.

Key words:soliton solution; Hirota method; generalized Hirota-Satsuma coupled KdV equation

收稿日期：2015-08-06;修回日期：2015-09-24

基金项目：河南省教育厅资助项目(No.13A110101);周口师范学院创新基金项目(No.zksykycx201303)

作者简介：朱晓明(1977- )，男，河南周口人，讲师，博士，主要从事可积系统研究.

中图分类号：O175.24

文献标志码：A

文章编号：1671-9476(2016)02-0011-05

DOI：10.13450/j.cnki.jzknu.2016.02.003