采用非线性自回归时序模型的汽车悬架隔振性能辨识*

陈茹雯　王玉国　湛时时

（南京工程学院，南京210036）



采用非线性自回归时序模型的汽车悬架隔振性能辨识*

陈茹雯王玉国湛时时

（南京工程学院，南京210036）

【摘要】根据摄动法求解非线性微分方程理论，通过单自由度振动系统在单位脉冲激励下动力学方程的解析解，推导出了振动系统时域响应的非线性自回归时序（GNAR）模型表达式，获得了基于GNAR模型的悬架隔振性能主要指标计算公式。通过对某汽车悬架隔振参数辨识的试验结果表明，基于GNAR模型的悬架隔振性能辨识方法准确、便捷，能实现对在用车辆悬架隔振性能的快速辨识和评价。

1　前言

汽车悬架隔振性能的主要指标是悬架的固有频率、阻尼比和悬架效率。采用文献［1］～文献［7］中的方法能较好地获得悬架系统特性参数，但也存在一些缺点：如采用解析法求解固有频率，必须掌握系统工作机理，正确建立其非线性微分方程；采用快速正弦扫频激振测试结构可能受测试台和飞轮惯性影响；某些悬架参数在线辨识方法需要特殊的信号发生器和较多的传感器等。

汽车悬架可视作质量-弹簧-阻尼系统，因此，悬架在外界激励作用下的输出是一组能反映系统本身特性的时间序列。非线性自回归时序（General Expres⁃sion for Nonlinear Autoregressive，GNAR）模型能以任意精度逼近线性/非线性系统，模型的阶数、记忆步长及参数能反映数据系统的固有特性［8，9］，因此本文研究了一种基于GNAR模型的汽车悬架隔振性能快速辨识方法。首先以摄动法求解非线性微分方程的理论为基础，根据单自由度振动系统单位脉冲激励下动力学方程的解析解，推导出振动系统时域响应的GNAR模型表达式；然后推导出基于GNAR模型的悬架隔振性能主要指标计算公式；通过Duffing系统自由振动算例，证明非线性GNAR模型与弱非线性系统之间的本质联系，通过模型的结构和参数可以辨识出系统的非线性特征；最后对某汽车悬架隔振参数进行了辨识试验。试验结果表明，该方法准确、便捷，能实现对在用车辆隔振性能的快速辨识和评价。

2　GNAR模型

GNAR模型表达式为：

式中，wt（t=1，2，…）为系统输出数据；at（t=1，2，…）为零均值白噪声序列；αi1,…,αi1,i2,…为模型参数。

实际建模时，模型阶次一般取为有限值，式（1）改写为：

该模型可以简记为GNAR（p；n1, n2,…, np）。

3　基于GNAR模型的振动系统辨识原理

3.1弱非线性振动系统刚度和阻尼的辨识

单自由度质量-弹簧-阻尼系统如图1所示，设系统相对于平衡位置的位移响应为z（t），根据牛顿第二定律，其运动微分方程为：

当ε=0时，方程（4）成为：

图1　质量-弹簧-阻尼系统

方程（5）是方程（4）的派生方程，描述线性简谐振动，若系统在t=0时刻受到单位脉冲力F=1δ（t）输入，则方程（5）的解为［11］：

对式（6）所示的函数值z进行等间隔离散采样，得到一组时间序列zi，i=1, 2,…，在任意时刻有：

设定采样间隔为Δt，由此可得：

利用三角函数公式将式（9）和式（10）展开，进行恒等变换，可得：

式中，Δt为采样间隔，可以视作常数。

可见，单自由度线性系统自由振动的时域响应可以采用GNAR（1；2）表示。

GNAR（1；2）的系数α1和α2为：

当ε≠0时，根据摄动法求解非线性微分方程的原理［12］，方程（4）所示自治振动系统的解z和非线性频率ω可以写为：

式中，右端各项表示方程解不同量级的项，z（0）、ω（0）表示零级项，且称为j级项。

将式（13）代入方程（4），根据等式左右同一量级相等原则，可以写出各级解满足的方程：

式中，各等式分别表示零级方程、一级方程、二级方程…。

显然，式（14）中的零级方程就是派生方程（5），因此零级解可表示为：

将式（16）代入式（14）中一级方程的右端：

式中，z（0）和ck为常数。

因此，一级解z（1）可以写成关于z（0）的多项式：

式中，P1表示多项式函数。

将式（15）代入式（19）：

对式（19）所示的z（1）求导数，可以得到和：

将式（19）和式（21）代入式（14）中二级方程的右端，可以获得i时刻的二级解表示为零级解和的高阶多项式形式，用P2表示。同理可以求得二级以上各阶解。

式中，多项式函数Pi取决于方程（4）的非线性解析函数f。

根据式（13）有：

将式（23）代入式（22）：

式中，αi1,L,ij为待定系数。

式（25）表明非线性系统现时刻的输出值可以用过去时刻输出值的高阶多项式来表示，这与GNAR模型的表达形式一致。可见，非线性GNAR模型可以用来描述非线性系统输出，模型系数由系统基本参数（如参数ω0、非线性量ε）确定。

观察式（24）的右侧可以发现，右侧第一项中zi-1和 zi-2的系数为和e-2nΔt；从右侧第二项开始，zi-1和zi-2的系数都是包含的乘积项，当ε是正的常数时，随着j增大因此，式（25）的系数为：

变换式（26），可以得到系统参数：

式（27）的含义是在弱非线性条件下采用零级频率分量表示系统非线性频率。

上述推导过程针对的是系统位移输出，同样方法可以推导出速度、加速度输出的GNAR模型表达方式。因此，对未知参数的单自由度振动系统输出的位移、速度或加速度信号建立GNAR模型，获得模型的参数α1和α2后，通过式（28）可以算出系统相关参数。

3.2仿真算例

Duffing系统的自由振动方程物理意义是一种具有渐硬弹簧的振动系统：

式中，n表示系统衰减系数；ω0为频率参数；β为正的常数表示非线性弹力。

表1　Duffing系统辨识结果

图2　Duffing系统振动位移输出序列（系统参数n=0.125/s，w0=1.5 rad/s）

对系统输出建立GNAR模型，根据式（27）辨识出n͂ 和͂，试验结果列于表1。表1中是系统输出的10个周期的均值，相对误差e为：

从表1中可以看出，辨识结果的相对误差在5％以内，较为准确。随着β增大，非线性频率增大，其原因为系统的非线性恢复力随着β增大而增大，这与图2所示序列的变化趋势一致。

可见，GNAR模型可以用来描述非线性系统，且通过模型的结构和参数可以辨识出系统的非线性特征参数。

4　汽车悬架隔振性能辨识方法的应用

4.1悬架隔振参数的辨识

将悬架简化为图1所示单自由度质量-弹簧-阻尼系统，根据机械振动理论，悬架的固有频率fd、阻尼比ξ和悬架效率η这3项指标的理论计算公式为：

式中，m为汽车簧载质量；k为悬架系统刚度；c为悬架系统阻尼；ωr为悬架的阻尼固有频率

将式（27）和式（28）代入式（31），即采用GNAR模型的参数α1和α2表示悬架的固有频率和阻尼比：

4.2辨识试验

单轮平板式汽车悬架参数检测平台硬件组成如表2所列。采用按压车体法给予被测车辆拟脉冲激励，由单轮平板式汽车悬架参数检测平台采集车体驾驶室在拟脉冲激励下的振动加速度信号，如图3所示。实际采样时长为10 276 ms，通道采集点数为512个，通道采样频率为49.822 Hz。

表2　单轮平板式汽车悬架参数检测平台硬件组成

图3　振动加速度信号

对振动加速度信号建立GNAR模型，获得模型参数α1和α2，根据式（31）和式（32）即可得到悬架系统的3个隔振性能指标。表3给出了5次试验的辨识结果，可以看出基于GNAR模型辨识出的悬架隔振性能参数接近于设计值。

表3　试验车悬架参数辨识结果

根据国家标准和欧洲减振器协会EUSAMA的要求，汽车悬架阻尼比ξ的值应在0.2～0.45之间，悬架效率η应大于0.45，悬架的固有频率fd应尽可能在人体感觉较为舒适的1.0～1.6 Hz之间。对照标准，可知该车悬架隔振性能合格。

5　结束语

提出了一种基于GNAR模型的汽车悬架隔振性能快速辨识方法，即给予被测车辆悬架拟脉冲激励，根据悬架振动输出信号建立GNAR模型，根据模型系数可以辨识出悬架的隔振性能指标。理论推导与Duffing自由振动系统算例证明了由GNAR模型的结构和参数可以辨识出系统的线性或非线性特征及相关参数，因此，该辨识方法对线性和非线性悬架系统都适用。

GNAR模型只对观测到的系统输出的有序数据进行分析和处理，模型中包含线性和非线性项，建模时不需要进行平稳性检验和数据预处理，建模便捷，因此，该辨识方法无需掌握被测车辆的具体结构，可实现对在用车辆隔振性能的快速辨识和评价。

参考文献

1张雨.汽车悬架振动试验台垂向主振动的有效性分析.振动、测试与诊断, 2010, 30（4）: 455～457.

2方瑞华.汽车空气悬架非线性振动理论和试验.农业机械学报, 2007, 38（7）: 13～15.

3唐驾时,唐应时.非线性悬架系统固有频率的计算.汽车技术, 1986,（9）: 13～18.

4余卓平，陆雄华.非线性悬架系统频率特性数值解.上海汽车, 1998, 5（2）: 36～38.

5R Majjad. Estimation of Suspension Parameters// Proceed⁃ings of the 1997 IEEE International Conference on Control Applications. Hartford, USA, 1997: 522～527.

6张亮亮,唐驾时,李立斌.虚拟激励算法下的汽车悬架振动分析.振动与冲击, 2006, 25（6）: 167～169.

7张慧杰,郭志平,司景萍,等.汽车悬架整车动力学模型的参数辨识.振动与冲击, 2013, 32（23）: 145～150.

8陈茹雯,黄仁,史金飞,等.线性/非线性时间序列模型一般表达式及其工程应用.东南大学学报:自然科学版, 2008, 38（6）:1077～1080.

9 Ren H, Feiyun X, Ruwen CH. General expression for linear and nonlinear time series models. Frontiers of Mechanical Engineering in China, 2009, 4（1）: 15～24.

10闻邦椿,刘树英,陈照波,等.机械振动理论及应用.北京:高等教育出版社, 2009.

11陈树辉.强非线性振动系统的定量分析方法.北京:科学出版社, 2009.

（责任编辑帘青）

修改稿收到日期为2015年11月1日。

主题词:非线性自回归时序模型悬架隔振性能辨识

Identification of Vehicle Suspension Anti-vibration Performance Based on GNAR Model

Chen Ruwen, Wang Yuguo, Zhan Shishi
（SNanjing Institute of Technology）

【Abstract】First, based on the perturbation method of solving nonlinear differential equation theory, general expression for nonlinear autoregressive（GNAR）model is derived for vibration system time domain response with unit pulse excitation and the calculation formulas of vehicle suspension anti-vibration performance indexes are obtained based on parameters of GNAR model. Finally the vehicle suspension vibration isolation parameter identification experiments are carried on, the results show that the method is accurate and convenient to realize a rapid identification and evaluation of the suspension vibration isolation performance for vehicles in use.

Key words:GNAR model, Suspension, Anti-vibration performance, Identification

*基金项目：国家自然科学基金项目（51305194）；江苏省自然科学基金项目（BK20130746）。

中图分类号:U463.33

文献标识码:A

文章编号:1000-3703（2016）04-0031-05