数学逆向思维的心里特征与教学应用

罗志泉

【摘要】逆向思维在中学数学的教学中占有很重要的地位，逆向思维有何特点，在教学中又怎样结合教材对学生进行逆向思维训练呢？本文就这个方面的问题说出了自己的做法.

【关键词】逆向思维；双向性思维训练

在现实生活中，历史上“司马光砸缸”的故事可说是妇孺皆知，三十六计中的“声东击西”、“空城计”、“欲擒故纵”等也是家喻户晓.这些典故从思维的角度来分析，都是逆向思维形式的典型代表，它们之所以被人民千古传颂，是由于逆向思维往往起到突破性的、令人意想不到的效果.那什么是逆向思维呢？所谓逆向思维是指从问题的反面入手，对问题的条件、结论、背景等进行观察、思考、分析与探索的一种思维活动.与常规思维不同，逆向思维是反过来思考问题，是突破常规思维方式去思考问题.

一、逆向思维的心里特征

苏联心理学家克鲁捷茨的研究表明：心理过程的可逆性是指从正向思维序列转到逆向思维序列这一意义上的思维序列方向的重建，它包括了两个不同而又是相互关联的过程.首先，它与只是单向起作用的单向A→B型联想（联结）相反，是双向的AB型的聯想的建立.其次，它是推理中心理过程的可逆性，是一种从答案或结论到原始数据的逆向思维.

二、逆向思维的教学运用

数学上的“逆运算”、“逆映射”、“反函数”、“逆定理”、“反证法”，“反例”等等，都是逆向思维的形式.根据数学思维的心里特征，我们在教学中可从三个方面对学生进行逆向思维训练：反例的应用、公式定理的逆用、问题的转换.学生逆向思维的能力提高了，对基本概念会有更深的理解，思维的灵活性会更强，分析问题和解决问题的手段也会更多.

1.重视反例的作用，加深对概念定理的理解

在概念或定理的教学中，学生往往对新的概念或定理不能透彻地理解，看不清或根本就不看概念或定理的一些附加条件，造成理解和运用的错误.教学时我们就要重视反例的作用了，适当利用反例帮助学生深入地理解相关概念.

反例的作用是“短平快”，具有很强的说服力，在数学研究和解决较难问题时更是经常使用.数学家费马曾给出猜想：“n为非负整数时，一切形如22n+1的数是素数.”这个猜想让很多人费尽心思，后来欧拉给出了反例，推翻了费马猜想：

225+1=232+1=4294967297=641×670041.

不用说一句话，一个简单的式子就解决了问题.在高考中，也不乏利用反例来解决问题的例子，它给考生节省不少保贵的时间.

例1 （2002年上海高考理工科）

规定Cmx=x（x-1）…（x-m+1）m！，其中x∈R，m是正整数，且C0x=1，这是组合数Cmn（n.m全是整数，且m≤n）的一种推广.组合性质：Cmn=Cn-mn是否能推广到Cmx（x是实数，m是正整数）的情形？若能推广，则写出推广的形式并证明：若不能，说明理由.

分析 x∈R，m，x-m∈Z，但x∈R、m∈Z时，x-m一定是整数吗？显然不能！如：x=53，m=1，C53-153=C2353 无意义.

所以，Cmn=Cn-mn不能作满足条件的推广.

从上面几例可以看出，教学中适当使用反例的必要性，培养学生应用反例解决问题的能力的重要性.

2.注重公式的逆用和逆命题的探讨，认清命题的本质

（1）数学公式的逆用，更能让学生充分地理解和记忆公式，认清公式的本质.如三角函数部分，要记的公式比较多，多加强逆用或变用公式的训练，对培养学生思维的灵活性会大有益处.教学中我们发现学生常对sin2α+cos2α=1记得很熟，但对“1”用sin2α+cos2α进行代换就不会运用，类似的还有形如：

1+tan15°1-tan15°=tan60°，sin47°cos73°+sin43°cos17°=sin120° 等等的问题.逆用公式多了，学生自然会对公式有更深的理解.

例2 已知，tanαtanα-1=-1，求sin2α+sinαcosα+2的值.

分析 由已知可得tanα=12，

sin2α+sinαcosα+2=sin2α+sinαcosαsin2α+cos2α+2=tan2α+tanαtan2α+1+2=135.

（2）适当训练学生对数学命题的逆命题进行探讨，对培养学生的逆向思维能力，提高解题水平有很大帮助.

例3 证明向量OA，OB，OC的终点A，B，C共线，则存在实数λ，μ，且λ+μ=1，使得OC=λOA+μOB.

分析 由于A，B，C共线，AB∥AC，AC=tAB.

OC-OA=t（OB-OA），OC=（1-t）OA+tOB.

设1-t=λ，t=μ，得OC=λOA+μOB.

完成这题的证明学生不是很难，但完成后教师如果引导学生对它的逆命题时行讨论，发现逆命题也是成立的，这样学生就会对这个问题有更高的认识了，而且映像很深，对以这个命题为背景的问题的解法也就会运用自如.如解下列题：“三角形ABC中，已知D是AB边上一点，若AD=2DB，CD=13CA+λCB，则λ=.”学生会很快得出λ=23.

3.从结论出发，转换问题，提高解题能力

逆向思考转换问题包含了数学解题的分析法，反证法，转换命题等方法.如果运用得当，会让学生体会到学习数学的真正快乐.

三、结束语

逆向思维能力不仅对提高解题能力有益，更重要的是改善学生学习数学的思维方式，有助于形成良好的思维习惯，激发学生的创新开拓精神，培养良好的思维品性，提高学习效果、学习兴趣，及提高思维能力和整体素质.在数学教学中必须充分认识逆向思维的重要作用，并结合教材自身的内容，注重对学生逆向思维能力的培养，不断完善学生的综合知识，以便能够更好地完成既定的教学目标，最终达到激发学生的创造精神、提升学生的分析能力的目的.