数学思想方法在高中数学解题中的应用

杨镒涛 郝楠楠

【摘要】作为在高中阶段学习的基础课程，相比其他两门语言类学科，数学要求学生在充分运用数学思维方法的基础上解决相关习题.笔者根据自身在数学学习当中的切身体会，整理了一套有关利用数学思想解决高中数学中不同类型习题的思维方法，希望对大家的高中数学学习有所帮助.

【关键词】数学思想 ；习题解答 ；高中；应用

为了提高自己的数学成绩，笔者在对数学解题思路的探究过程中，整理出了一套数学思想解题方法，并实现了数学成绩的稳固提升.本文将有关数学解题中需要运用的思维方法给大家进行一个简单的整理，希望能给诸位在高中数学的学习提供一些有用的解题思路.

一、不等式在数学解题中的运用

不等式是这几年高考的重点，对不等式解题思路的学习不仅可以解决集合、线性规划、函数题目、取值范围、最值等数学问题，还能够为进一步为高等数学的学习奠定基础.

1.利用不等式解决函数最值问题

在高考考查范围内，求函数的最大值或最小值一直作为重点难点考查的.对函数的最值的求解方式也很多，在相当的一部分题目求解时采用不等式的方法，能够开阔学生的解题思路：例如已知x<54，求y=4x-2+14x-5的最大值.针对这种题目，大多数情况下会用函数的单调性原理进行解题，但如果我们应用均值不等式会发现解答起来既简单又快速.

2.利用不等式解决参数取值问题

通常情况下在解题过程中我们很容易简单的进行参数等价化简，使得它独自处在不等式的一边，则在另一边通常会化成含有变量 x 的关系式方程：（1）当a≥f（x）的恒成立问题，可等价于求f（x）的最大值，证明a≥f（x）max即可.（2）当a≤f（x）的恒成立问题，可等价于求f（x）的最小值，证明a≤f（x）max即可.

3.不等式在线性规划中的解答思路

在线性规划问题的解决中时最首先需要注意的就是可行域了，在对其的求解中可行域的画出是其中的关键.

具体习题解析：已知f（x）=|x-2|-|x-5|，若关于x的不等式f（x）≥k有解，求k的最大值.

解法一：有f（x）=|x-2|-|x-5|得，-3≤f（x）≤3.

∵f（x）max≥k，∴k≤3.

解法二：由几何意义得：-3≤|x-2|-|x-5|≤3，∴k≤3.

二、分类讨论思想高中数学中的解题的应用

分类讨论的思想在高中数学的解题过程中应用非常广泛，含参数的问题大致分为两种类型：一类是根据参数的取值范围，寻求命题有可能出现的结果，最终得出命题的结论；另一类是根据给定命题的相关结论，寻找参数的应满足的具体条件或者相应的取值范围.

1.分类原理

数学思想的具体分类原理，就是把一个集合A分成若干个非空真子集Ai（i=1，2，3，…，n）（n ≥ 2，n ∈ N+），具體的分类必须需要具备两个要点：首先要确保对子集分类没有遗漏，二是保证分类之间没有重复，做到“不重不漏”.

2.分类标准

解题中在确立分类讨论的对象后，以何种标准进行分类是采取这种方法解决数学问题的前提.在通常情况下，分类的标准主要有三个：概念、定理、解题需要.

例1 求函数y=│x+1│+│x-2│-2 的值域.

解 得出函数y=│x+1│+│x-2│-2的零点是 x=-1和x=2.

∴以 -1和 2 作为分类讨论的标准，将定义域分为三类进行讨论.

得出y=-2x-1 （x≤-1）

1（-1≤x≤2）2x-3

（x>2）

∴根据函数的图像得出函数的值域为[1，+∞）.

三、对称思想在高考数学中的应用

对称问题占据着高中数学的重要一环，在新课标的公式推导、教材习题中占据着重要的位置.数学中的对称形式主要有三种：中心对称、轴对称、平面对称.在平面集合的解析中，题目中很容易出现完整的对称结构，在对这类问题进行解决的过程中，利用对称往往能产生意想不到的效果.

例2 求与圆C：（X+2）2+（X-6）2=1，关于直线3x-4y+5=0的对称圆的方程：

解 设圆C的圆心（-2，6）关于直线3x-4y+5=0的对称点为C′（a，b），

依题意 解得：a=4，b=-2. b-6a+2·34=-1，3·a-22-4b+62+5=0.

∴所求圆的圆心C′（4，-2），半径为1，

∴圆C′的方程为（x-4）2+（y+2）2=1.

结束语

在解题过程中数学思路的掌握往往会使数学的学习变成一件富有趣味的事.笔者作为一名高中学生，得出的数学解题思路较为简单，但还是希望对大家的学习有所帮助.

【参考文献】

[1]周剑.分类讨论的思想在高中数学中的应用[J].传道授业.2015，（03）.

[2]罗金东.对称思想在高中数学中的应用[J].玉溪师范学院学报.2013，（12）.

[3]全玉刚.探究不等式在高中数学中的解题中的应用[J].中学教育.2015，（07）.