空间向量在高中数学问题解决中的应用

李晓宏

摘 要：本研究共分为三个部分，第一部分从教材分析空间向量的方法探讨了高中数学空间向量的具体内容；第二部分分析了空间向量在立体几何中的应用；第三部分提出了提高空间向量在高中数学教学中运用的措施。

关键词：空间向量；高中数学教学；应用

空间向量融“形”“数”于一体，即具有数的身份也具有形的身份，在解决高中数学问题中充当着重要的角色。将空间向量看作代数形式，所有向量都可以用实数来代表，相应的运算自然就成为代数运算；将空间向量看作几何形式，就兼具了方向和大小，再用有向线段来表示，其运算过程自然就有了几何特性。

一、空间向量的具体内容

1.教材分析。《普通高中课程标准实验教科书》的选修课程2-1第三章的内容，描绘的铁轨、过山车等都来自我们的生活，而这些问题和空间向量之间又有着不可分割的联系。所以，该章节的学习内容是空间向量及其运算和立体几何中的向量方法。

2.空间向量方法。高中数学立体几何主要研究的对象是点、线、面以及利用点、线、面构成的各种空间图形。所以，在利用空间向量解决几何问题的时候，首先要考虑的就是用空间向量表示出空间图形中点、线、面的位置。在高中数学教学中，教师一般都会采取提问的方式来引发学生对空间向量的分析和思考，具体的问题也和空间向量的表示方法一致，重点是如何在空间图形中确定点、线、面的位置。而利用这种方法所表示出的点、线、面，是可以将立体几何知识转换成为空间向量问题的，最终采用代数的方法解决问题。

二、空间向量在立体几何中的应用

高中数学中涉及立体几何的种类是非常多的，除了锥体、圆柱、柱体等基本的几何体之外，还有各种几何体组成的复合组合体。高中数学中立体几何的判断、计算和证明都存在度量和位置关系。在解题的过程中，利用空间向量来表示点、线、面之间的位置关系，这时候距离、夹角等都能够用空间向量来进行证明和计算，利用空间直角坐标系，然后描绘出相关的坐标。通常来讲，空间几何和现实生活有着密切的关系，能够将几何体抽象化，能够将已知问题转化为向量问题，进而运用空间向量进行证明、计算、判断。

例如：在立体图形中，M是棱DD1中点，O为正方形ABCD中心，求证：OA1⊥AM

分析：题目已知是一个正方体，空间直角坐标系很容易建立，即取D为原点，以DA、DC、DD1分别为x、y、z轴，建立空间直角坐标系。假设正方体的边长为1，则很容易表示已知向量，通过向量的运算法则得出结论。

三、提高空间向量在高中数学教学中运用的措施

1.概念教学措施。从理论上讲，空间向量是从平面向量扩充而来的，空间向量和平面向量之间的关联就是如何将平面向量的有关知识进行迁移。高中学生比较关注的是如何进行数学题的解题，而忽视对数学概念的掌握和理解。这一现象同样存在于空间向量的学习中。空间向量涉及的概念非常多，对于高中学生来说理解起来难度也非常大，如果再加上数量积和数乘，学生就更难理解了。空间向量作为有效的解决高中数学问题的方法，要想将其利用得当，首先就必须对空间向量的概念理解透彻。

（1）遷移手段的合理运用。空间向量作为一种沟通代数和几何教学的工具，概念教学中也应该做到“数”“形”结合。在高中数学课堂上，教师讲解空间向量概念的时候要避免出现脱离图形的现象，要围绕教材中的图示进行讲解。空间向量中的很多概念和平面向量有着相同之处，教师在讲授概念的时候要注重平面向量概念的复习。

（2）运用变式深化概念讲解。教师在概念解读的过程中绝不能简单地宣读，而是需要不断钻研教材，在吃透教材的情况下对空间向量的有关概念进行讲解。同时，教师还应该在教学当中对学生的易错点和认知不足之处进行归纳和总结，在课堂上引导学生深入地进行概念的挖掘。在概念的讲解中，教师可以设置几道典型例题，运用变式来拓展学生的思维，使学生对概念的理解更深入。

（3）概念知识结构的构建。很多教师对知识结构的构建不够重视，但是空间向量的知识结构构建不仅能将已有的知识和空间向量建立联系和对比，还可以提高学生的数学素质和数学水平。

2.解题教学措施。空间向量学习的最终目的是为数学解题服务。例如，在高一几何课程中，学生在解题时出现的很多问题是因为学生的空间想象力不足。而在立体几何教学中，关键是要引导学生进行解题步骤的归纳。具体的步骤包括建立坐标系，写出确定的坐标，进行计算和推理。在这三个步骤当中，最难的环节就是计算和推理。所以，教师在指导的时候要引导学生反复运用公式进行练习、计算，并引导学生自己动手反复演练。