中考真题的研究与复习策略

张海松

一、基于中考复习课的思考

如何帮助学生在较短的时间内巩固初中数学所学知识，并取得较好的效果，是每个数学教师所关注的问题。在中考数学的真题讲解复习中，教师要思考如何有效地备课、授课，以及在课堂上如何发展学生的思维能力。

二、基于复习课現状的思考

中考复习，时间短，内容多，要求高。课堂教学是主要的教学形式，而复习课没有统一的教材。教师在课堂教学中只重视习题的训练，单纯地套用大量现成的模拟试卷，做题讲题，搞题海战术，不但增加了学生负担，而且不利调动学生学习的积极性，无法提高复习效果。

为了更好地提高课堂质量，真正促进素质教育的开展，提高学生的数学中考成绩。笔者在本文着重结合“一道中考真题的评析”，做了基于课堂教学的教学反思。希望本文能为九年级教师在中考数学有效备课、授课以及提高学生思维水平方面做出有益提示。本文结合2014年杭州市中考数学试卷第21题评析，做了如下的教学反思。

1.真题再现

（1）例题。（2014年杭州市中考题，22题，10分）在直角坐标系中，设x轴为直线l，函数的图象分别是l1，l2，圆P（以P为圆心，1为半径）与直线l，l1，l2中的两条相切，例如（，1）是其中一个圆P的圆心坐标。

问题一：写出其余满足条件的圆P的圆心坐标；

问题二：在图中标出所有圆心，并用线段依次连接各圆心，求所得几何图形的周长。

解答要点：分两类，利用对称求解。

③画出图形，已知该图是一个正十二边形，

且每一条边边长为，

可得该几何图形的周长为8.

（2）真题研究。本试题是一道中等难度题，有关直线与圆的位置关系的思想和方法是中考的必考内容。尤其是圆的教学在平面解析几何乃至整个中学数学中都占有重要的地位，而直线和圆的位置关系的应用又比较广泛，是初中几何的综合运用，是在学习点和圆的位置关系基础上进行的，又为圆和圆的位置关系做了铺垫，对几何证明起到重要的作用。然而，本题的背景是学生掌握直线和圆的相切性质和判定方法。渗透三种思想：分类讨论思想、数形结合思想、类比思想；落实三个基础：平面直角坐标系中点的对称关系、特殊一次函数的应用、直线与圆的位置关系；以及多边形周长求解方法等。

（3）真题作用。真题再现，能唤醒学生探究试题欲望，在探究过程中训练学生的思维。中考复习阶段的九年级学生已经有了比较扎实的基础，思维能力和数学思想方法的应用也有很大程度的提升，但对复杂的中考综合性问题仍然不能很好地独立思考直至求解，有畏惧心理，缺乏思维方法。

2.真题讲解应注意的问题

（1）点拨关键点。教师出示真题后，可让学生独立思考，如遇到部分学生没有思路时，可在适当的时机给予点拨，开拓学生思维动力和方向。教师对于学生提出的问题，应和学生一起思考，重在帮助学生理清问题的思路，抓住问题的关键。比如，本例题教学时，可点拨学生一次函数图象的特点：一次函数k为±，b为0时，图象经过原点，且直线与x轴夹角为60°（如上图）。在解答问题的过程中，教师只需做到适时点拨，把时间交给学生。

（2）突破重难点。教师要把握题目讲解的重点，不要对常规性知识一讲再讲；对于难点的解答，教师应降低思维的起点，形成思维的梯度，引导学生发散思维。比如，本例题讲解时可以将问题分解：首先，引导学生画出两个一次函数，，的图象；其次，建议学生分析、解答在第一象限内，与相邻两直线相切圆P的坐标P1（，1）然后，利用对称方法求出P2（，1），P3（，-1），P4（，-1），再考虑坐标轴上的点P5（0，2），P6（0，2），最后利用类比、对称的方法有规律地求出所有点的坐标。

（3）串联知识点。真题复习的目的在于把零散的知识系统化、条理化，并能形成清晰的解题思路。教师必须串联此题考查的相关知识点，使学生明确，达到复习课以点带面的目的。比如，本例题主要考查直线与圆的相切关系，则应该串联并延伸到点与圆、直线与圆、圆与圆的三种位置关系上，再进一步复习总结。

（4）构建思想点。构建数学思想是学生知识转化的桥梁，是学生形成良好的认知结构的纽带。而基本的数学思想方法在大多数问题中以隐蔽的形式存在于字里行间，它是无形的，需要通过教师的指点，学生才会领悟、掌握。比如，教师在本例题的讲解过程中，要先引导学生画出图形，利用图形把抽象的问题变成直观的问题。在求出一点坐标后，教师可引导学生利用分类讨论思想、类比思想求出其他剩余的点。

（5）归纳落脚点。归纳总结是教师对一个章节、一个课时所讲知识点的概括总结，是经过筛选、浓缩的一些带有规律性的认识。在本试题解决后，教师要及时引导学生从解决问题的过程和结果中，挖掘其中蕴含的数学思想和数学方法，不断地归纳总结，引导学生自己动脑、动手去找出规律，找出区别，找出差异。比如，在解答本例题后，教师让学生总结知识点：对于k为±1、±、±的一次函数图象，与坐标轴之间的关系（或者说是所成的角度）。K为±1时，直线与x轴夹角为45°；k为±时，直线与x轴夹角为60°；k为±时，直线与x轴夹角为30°。有了特殊的角度就比较容易联想到直角三角形。

另外，中考数学综合性问题均可转化为数学单一性问题，使学生的数学解题思路模型化，感受数学思维的严密性和发散性，体验数学的对称美、和谐美。让学生明确、熟悉和梳理考点，归纳题型解法，吸取解题经验、技能，养成系统整理知识和善于归纳总结的习惯并形成能力。另外，教师在归纳总结的时候，应放慢速度，加强语气，反复强调，必要时配以板书或多媒体进行展示。

3.真题变式

真题变式是指变换真题问题的条件和结论，变换问题的形式而不变换问题的本质，使本质的东西更全面，使学生不迷恋于事物的表象，而能自觉地从本质全面地看问题，注意从事物之间的联系和矛盾上来理解事物的本质，克服和减少思维僵化及思维惰性。当然，问题的设计应有一定的层次性，让具有不同知识基础和智力水平的学生都能够参与到学习中。变式训练可以将新知识迁移内化。例题如下。

（1）变化条件。变式1：设x轴、y轴分别为直线l1，l2，函数y=x，y=-x的图象分别是直线l3，l4，圆P与直線l1，l2，l3，l4中的两条相切。求满足条件的圆P的圆心坐标。

设计意图：将原问题3条直线变为4条，问题看似变得复杂，解答过程变得复杂，但问题本质不变。由此变化能有效地培养学生思维的严密性，培养思维的深刻性。

（2）变化问题。变式2：在变式1的基础上，满足条件的圆P圆心有几个？请尝试将点P进行分类，并简要描述你的分类标准。

设计意图：问题的方式影响思考的方式和角度，变式2将问题增加，虽然问题相对简单，但变式1把一般封闭性的问题变为开放性的问题，更能激发学生兴趣，启发学生自主探究，促进学生理性思维及智力的发展。

（3）变化视角。变式3：若平面直角坐标系中有n条直线相交于原点O，并将坐标系2n等分，圆P与这n条直线中的两条相切，试求满足条件的圆心P点的个数？

设计意图：变式3将问题延伸到了一般规律题。学生已经经历了原题以及变式1问题的活动过程，在活动中通过对大量特殊情形的观察猜想出一般情形，从而探索事物的内在规律。规律探索型问题涉及的基础知识非常广泛，题目没有固定的形式，因此没有固定的解题方法。它既能充分考查学生对基础知识掌握的程度，又能较好地考查学生的观察、分析、比较、概括、发散思维的能力及创新意识，因而成为中考的热点。这就启发广大数学教师必须注重过程教学，用科学的方法引导学生亲身参与、经历探索规律的过程，在这样的过程中让学生认识数学之美，感受探索的愉悦，逐步培养学生的独立探究能力。这样可引导学生从不同角度、不同方面思考，从而抓住问题本质。

4.成效与反思

（1）复习课堂教学要做好组织作用。首先，教师应根据复习内容和学生实际情况确定合理的教学目标，选好题，设计好教学方案。其次，在教学活动中，教师应选择适当的教学方式，因势利导，适当调控，努力营造师生互动、生生互动、生动活泼的课堂氛围。组织教学应注重知识的生长点与延伸点，引导学生感受数学学科的整体性。（2）复习课堂要做好引导作用。通过恰当的问题，引导学生积极思考。通过教师的归纳和示范，使学生理解知识、掌握技能、积累经验、感悟思想。关注学生的差异，用不同层次的问题或手段，引导每一位学生参与到学习中。

总之，作为学生复习课的设计者，教师应精选出信息新、练习到位的练习题，根据学生的具体情况，从大量的复习资料中，做到重新组题，自编新题，强化训练，帮助学生从题海中解脱出来，力争以最少的时间获得最大的复习效果。

数学教学过程中，教师应选择适合学生的学习方式，尽可能通过合作学习，经历数学课堂的交流，使学生在感受别人的思维方法和思维过程的同时，表达自己思维的过程，从而达到个性发展的目的。

因为学生每天学习的知识点不同，面对同一问题解决问题的思维方式也不相同，导致教师面对问题的变式处理也不同。因此，每一节数学复习课都不可能做到完美无瑕。当然，每节数学复习课结束后，收获很多，但留下更多的是实际课堂教学中的困惑和思考。笔者认为，中考复习课教学策略的操作还有待完善，需要大家共同努力和研究。