高考二项式中特定项的求解两策略

王联新 黄信璋

二项式定理的考查在现在高考是常考常新，但是万变不离其宗，归纳起来主要有两种题型： 一个二项展开式问题； 两个或两个以上二项式问题.解决这类问题的基本方法是用好二项展开式的通项公式和方程思想，以及组合数，二项式原理.下面从两个方面进行分析.

一、一个二项展开式问题

例1 已知（x-2x2）n （n∈N*）的展开式中第五项的系数与第三项的系数的比是10∶1.

（1）求展开式中各项系数的和；

（2）求展开式中含x3/2的项；

（3）求展开式中系数最大的项和二项式系数最大的项.

分析 （1）审条件，构建关于n的方程求n.

（2）审要求，可利用“赋值法”求各项系数之和；利用通项公式确定含x3/2的项数；确定系数最大的项数和二项式系数最大项的项数，再求项.

解析 由题意知，第五项系数为C4n·（-2）4，第三项的系数为C2n·（-2）2，则有C4n·（-2）4C2n·（-2）2=101，化简得n2-5n-24=0，解得n=8或n=-3（舍去）.

（1）令x=1得各项系数的和为（1-2）8=1.

（2）通项公式Tr+1=Cr8·（x）8-r·（-2x2）r=Cr8·（-2）r·x（8-r）/2-2r，

令8-r2-2r=32，则r=1，故展开式中含x3/2的项为T2=-16x3/2.

（3）设展开式中的第r项，第r+1项，第r+2项的系数绝对值分别为Cr-18·2r-1，Cr8·2r，Cr+18·2r+1，若第r+1项的系数绝对值最大，则Cr-18·2r-1≤Cr8·2r，

Cr+18·2r+1≤Cr8·2r，解得5≤r≤6.

又T6的系数为负，∴系数最大的项为T7=1792x-11.由n=8知第五项二项式系数最大，此时T5=1120x-6.

点评 本题重点考查了二项式的通项公式，二项式系数、项的系数以及项数和项的有关概念.解题时要注意区别二项式系数和项的系数的不同.项数和项的不同；本题的易错点是混淆项与项数，二项式系数和项的系数的区别.这类问题还有一个难点就是这些特定项是哪一项，这一项如何计算，化解的基本方法就是根据题目的要求和二项式展开式的通项公式列出方程，通过方程找到是哪一项，然后再根据二项式展开式的通项公式进行计算.在有些问题中还需要根据题目的具体要求列不等式等找到特定项是哪一项.当然，解决问题的思想方法也是非常重要的.

二、两个或两个以上二项式问题

求解两个或者两个以上二项式中一些特定项或特定项的系数是高考中的一个难点，化解这个难点的方法是用好多项式的乘法规则，以及搞清二项式定理的原理，根据相乘的两个二项展开式和多项式的乘法规则，弄清楚这些特定的项的构成规律，然后进行具体计算.

例2 （1+2x）3（1-x）4展开式中x项的系数为.

分析 求多个二项式积的某项系数，要会转化成二项式定理的形式.

解析 （1+2x）3（1-x）4展开式中的x项的系数为两个因式相乘而得到，即第一个因式的常数项和一次项分别乘以第二个因式的一次项与常数项，它为C03（2x）0·C14（-x）1+C13（2x）1·C0414（-x）0，其系数为C03·C14（-1）+C13·2=-4+6=2.

点评 本题的难点是两个多项式相乘时x项的构成规律，这只要按照多项式的乘法规则进行即可，其系数就是这些相应项的系数乘积之和.这种方法是化解两个多项式相乘时，求展开式中某一项的系数的主要方法.

例3 求式子（|x|+1|x|-2）3的展开式中的常数项.

分析 这种类型和我们课本上的不同是它里面为三项，把它从三项转化为二项是关键.

解法一 （|x|+1|x|-2）3=（|x|+1|x|-2）（|x|+1|x|-2）（|x|+1|x|-2）得到常数项的情况有：

①三个括号中全取-2，得（-2）3；

②一个括号取|x|，一个括号取1|x|，一个括号取-2，得C13C12（-2）=-12，∴常数项为（-2）3+（-12）=-20.

解法二 （|x|+1|x|-2）3=（|x|-1|x|）6.

设第r+1项为常数项，

则Tr+1=Cr6·（-1）r·（1|x|）r·（|x|）6-r=（-1）6·Cr6·|x|（6-2r）/2，得6-2r2=0，r=3

∴T3+1=（-1）3·C36=-20.

点评 本题用的较多的方法是第一种方法，因为它简便快捷，同时也是二项定理的核心和灵魂，如果这个问题都能领悟，二项式的所有东西都将解决.

总之，求二项展开式中的特定项或特定项系数，主要是以上两种类型，第一种类型主要通过通项，第二种类型要么是转化成二项，要么是利用二项式定理的原理.

（收稿日期：2015-07-12）