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培养学生敢于尝试的探究精神

2016-05-30赵秀琴

中学生理科应试 2016年1期
关键词:项是双基模式化

赵秀琴

2015年上海高考数学题试图克服遇到题目就模式化的弊病,试题中既要求数学的双基运用能力又增强了一定的思维量.试图鼓励学生要有想法,要敢于尝试,可以说较之以往的考题有所创新和突破.

本文例举几道题,对考题进行一定的分析与理解.

一、关注分析与联想

题1 (理科卷第13题)已知函数f(x)=sinx.若存在x1,x2,…,xm满足0≤x1

.

分析 题目中求m的最小值,对应着图像上的点Ai最少,作出函数y=sinx,x∈[0,6π]的图像,图像从左到右的最高点和最低点依次为A1,A2,…,A6.如此可以设想使|f(xi-1)-f(xi)|(i∈N*)越大越好,它的极值是|f(xi-1)-f(xi)|=2.

有了这一想法,看似要讨论判断的复杂问题就转化为简单的问题.

继续探究,|yA1-yA2|=2,|yA2-yA3|=2,…,|yA5-yA6|=2,

此时m=6,|yA1-yA2|+|yA2-yA3|+…+|yA5-yA6|=10,

观察图形,结合点O和点(6π,0)的位置,容易得出m的最小值为8.

其实,事物的发展变化是相辅相成的,如果善于观察和分析,那么就会从求m的最小值联想到|sinx|的最大值为1,进一步达成问题的解决.

二、较强的双基运用能力

题2 (理科卷第14题)在锐角三角形ABC中,tanA=12,D为边BC上的点,△ABD与△ACD的面积分别为2和4.过D做DE⊥AB于E,DF⊥AC于F,则DE·DF=

要想让S2恒为定值,只需要1+2m=0,即m=-12时,S为定值24.

这里我们看到,当结果化成④的形式的时候,尽管除了m仍然含有两个字母x1,x2,但是却不会影响到最后结果的得出,所以这样的大胆探究就达成了将“不知”化为“可知”的目的,问题也就迎刃而解了.

五、有想法,再探究

题5 (文科卷第23题)已知数列{an}与{bn}满足an+1-an=2(bn+1-bn),n∈N*.

(Ⅰ)若bn=3n+5,且a1=1,求{an}的通项公式;

(Ⅱ)设{an}的第n0项是最大项,即an0≥an(n∈N*),求证:{bn}的第n0项是最大项;

(Ⅲ)设a1=3λ<0,bn=λn(n∈N*),求λ的取值范围,使得对任意m,n∈N*,an≠0,且aman∈(16,6).

解析 (Ⅰ)、(Ⅱ)略.对于(Ⅲ):

(1)很容易求出an=2λn+λ

(2)下面的想法是:对任意m,n∈N*,如何解决?

如果{an}中有最大值ai,或有最小值aj,或有limn→∞an=a,那么就有可能an∈[aj,ai]或an∈[aj,a]或an∈[a,ai],如此就可以变无限为有限来探究问题.

(3)y=λn属于指数范畴,由a1=3λ<0

aman∈(16,6)可得a2=2λ2+λ<0,则-12<λ<0.{an}分奇数列和偶数列讨论探究:

a2k=2λ2k+λ=2|λ|2k+λ,a2k-1=2λ2k-1+λ=-2|λ|2k-1+λ,

通过图像作进一步观察:

由y=|λ|2k(k=1,2,3…),|λ|<12,函数递减,ymax=λ2.

在y=-|λ|2k-1(k=1,2,3,…)中,|λ|<12,函数递增,ymin=-|λ|,

所以{an}中最大值为a2=2λ2+λ<0,最小值a1=3λ<0.

(4)进一步探究,am,an必须满足下式:0(5)建立关系a2a1>16

a1a2<6

-12<λ<0,

即2λ2+λ3λ>16

3λ2λ2+λ<6

-12<λ<0,

可得:-14<λ<0.

通过这样的探究尝试,能够熟练准确运用双基,求得了当-14<λ<0时对于任意m,n∈N* ,an≠0,都有aman∈(16,6).

通过如上几道题目的解析,深深感觉到,这样的问题设置,促使我们在今后的高中数学教学中进一步要克服“模式化”,积极培养学生敢于尝试的探究精神,提高学生的数学思维品质.

(收稿日期:2015-10-22)=1|OA|2+1|OB|2=a2+22a2+8+1a2+4=12

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