妙用转化法 巧解高考题

郭志祥

一、一般向特殊的转化

有些数学命题条件与结论之间的联系不很明显，而其结论又是反映一般的情形，直接寻找解题途径较为困难.不妨先将问题的一般性转化为问题的特殊性来考虑.然后再探求出一般规律性的结论.

例1 设数列a1，a2，…，an，…的前n项之和Sn和an的关系是Sn=-ban+1-1（1+b）n，常数b≠-1且与n无关，写出用n和b表示an的表达式.

分析 先求出a1，a2，a3，然后猜想并证明an，效果甚好，由an=Sn-Sn-1（n≥2）易得出an与an-1的关系式：

an=b1+ban-1+b（1+b）n+1（n≥2）

①

又a1=S1=-ba1+1-11+b，故a1=b（1+b）2

再由①得

a2=b2（1+b）3+b（1+b）3=b+b2（1+b）3

a3=b1+b·b+b2（1+b）3+b（1+b）4=b+b2+b3（1+b）4，…

于是猜想：an=b+b2+…+bn（1+b）n+1

然后用数学归纳法证明即可（证略）.

二、数式向图形的转化

例2 自点A（-3，3）发出的光线L射到x轴上，被x轴反射，其反射光线所在直线与圆x2+y2-4x-4y+7=0相切，求光线L所在的直线的方程.

分析 本题的反射问题一般用对称原理来处理，要求光线L，则先求对称圆的切线即可，若求反射后的光线，则先求A的对称点A′，过A′做已知圆的切线即可.

解 已知圆x2+y2-4x-4y+7=0变形为

（x-2）2+（y-2）2=1

其圆关于x轴的对称圆方程为

（x-2）2+（y+2）2=1

过点A给圆（x-2）2+（y+2）2=1所做的切线方程，即L的方程为：

3x+4y-3=0或4x+3y+3=0.

例3 不等式|x2-3x|>4的解集是

图1解 做y=|x2-3x|与y=4的图象.如图1.

设|x2-3x|=4，有x2-3x=4

解得x1=-1，x2=4

x2-3x=-4无解

由图易知，不等式的解集是：{x|x<-1或x>4}.

三、高维向低维的转化

从高维向低维转化的思维方法常用于解答立体几何问题，由于立体几何问题是三维空间的问题，它是二维平面问题的拓展与延伸，许多平面几何的性质和定理可以移植到立体几何中，反过来，立体几何问题也可以转化为平面几何问题来处理与求解.

图2例4 如图2，三棱锥V-ABC，VA、VB、VC两两垂直，V在△ABC上的射影是H，求证：S2△ABC=S2△VAB+S2△VBC+S2△VCA.

证明 连CH延长交AB于D，连VD，则有：

∵VC⊥VB，VC⊥VA，

∴VC⊥平面VAB.

∴VC⊥AB，又CH是VC在平面ABC上的射影.

∴CD⊥AB.

又因VD在平面ABC上的射影是DH.

而DH⊥AB，则VD⊥AB.

图3下面考察S△VAB、S△AHB、S△ABC之间的关系，不难发现这三个三角形公共底边为AB，而它们的高VD、DH、DC又都在平面VDC中，于是将这一高维问题得以向低维转化（图3）.在Rt△VDC中VH⊥CD，则由直角三角形射影定理得：

VD2=DH·DC.

（12AB·VD）2=（12AB·DH）（12AB·DC）

∴S2△ABV=S△HAB·S△ABC

①

同理可证：

S2△VBC=S△HBC·S△ABC

②

S2△VCA=S△HCA·S△ABC

③

由①+②+③得：

S2△ABC=S2△VAB+S2△VBC+S2△VCA

四、复杂向简单的转化

例5 设a，b是两个实数，A={（x，y）|x=n，y=na+b，n∈Z}，B={（x，y）|x=m，y=3m2+15，m∈Z}，C={（x，y）|x2+y2≤144}是平面xOy内点的集合，讨论是否存在a和b使得：

①A∩B≠与②（a，b）∈C同时成立.

分析 ①A∩B≠等价于存在整数n，使得：na+b=3n2+15，②（a，b）∈C等价于a2+b2≤144.于是原题即可转化为新命题：讨论关于a，b的混合组：

na+b=3n2+15

a2+b2≤144（n∈Z）

是否有实数解（解略）.

假设存在实数a和b满足以上混合组，由假设及柯西不等式得：

（3n2+15）2=（na+b）2

≤（n2+1）（a2+b2）≤（n2+1）·144

由此即可得：（n2-3）2≤0

即有n2=3，n=±3.这与n是整数矛盾.

故不存在实数a，b，使得①和②同时成立.

五、含蓄向明朗的转化

解数学题必须充分利用题设条件，并将隐含条件转化为明朗的条件，则有利于提高解题的准确性，敏捷性和灵活性.

例6 设a≥0，在复数集C中，解方程z2+2|z|=a.

解 ∵|z|∈R，由z2+2|z|=a

∴z2=a-2|z|∈R

∴z为实数或纯虚数.

①当z∈R时，

∴z2+2|z|=a

|z|2+2|z|=a

∴|z|=-1±1+a（舍去负值）

∴z=±（-1+1+a）

②当z为纯虚数时，设z=±ri（r>0）

∴|z|=r，则-r2+2r=a

∴r=1±1-a（0≤a≤1）

∴z=±ri=±（1±1-a）i

六、综合向单一的转化

例7 如图4，在△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a，b，c，且c=10，cosAcosB=ba=43，P为△ABC的内切圆上的动点，求点P到顶点A、B、C的距离的平方和的最大值与最小值.

图4分析 这是一道涉及解三角形、建系、解析几何及求几何最值的综合问题，可将综合问题转化为如下单一的简单题：

解 （1）解三角形问题

cosAcosB=ba=2RsinB2RsinA=sinBsinA

∴sinA·cosA=sinB·cosB，

即sin2A=sin2B

①

由cosAcosB=43，可知A≠B，所以由①得

2A=π-2B，即A+B=π2.

∴△ABC是直角三角形，∠C是直角.

（2）求三角形内切圆半径的问题：

由c=10，ba=43，

a2+b2=c2，a>0，b>0.

可得a=6，b=8.

则内切圆半径r=12（8+6-10）=2.

（3）建系求圆方程问题：如图4建立直角坐标系，则内切圆的方程为：（x-2）2+（y-2）2=4.

（4）解析法求几何最值问题

设内切圆上任意一点P的坐标为（x，y），则P点到△ABC的各顶点的距离的平方和为

S=|PA|2+|PB|2+|PC|2

=[（x-8）2+y2]+[x2+（y-6）2]+（x2+y2）

=3x2+3y2-16x-12y+100

=3[（x-2）2+（y-2）2]-4x+76

=3×4-4x+76=88-4x

因为点P在内切圆上，所以0≤x≤4，于是

Smax=88-4×0=88 Smin=88-4×4=72.

（收稿日期：2015-07-12）