例析高考数学选择题的解题方法与技巧
2016-05-30马多濂
马多濂
高考数学选择题占总分值的五分之二，其解答特点是“四选一”，怎样才能快速、准确、无误地选择好这个“一”呢？选择题和其它题型相比，解题思路和方法有着一定的区别，原因在于它有与其它题型明显不同的特点：①立意新颖、构思精巧、迷惑性强，题材内容相关相近、真假难分；②技巧性高、灵活性大、概念性强，题材内容多变、解法奇特；③知识面广、跨度较大、切入点多、综合性强.因此，只要抓住了选择题的如上特点，就能很好的完成选择题的解答.本文例析解答选择题的几种方法，以期对大家有所帮助.
一、直接法
直接从题目条件出发，运用有关概念、性质、定理、法则和公式等知识，通过严密推理和准确计算，从而得出正确结论，然后对照题目所给出的选择支“对号入座”.涉及概念、性质的辨析或运算较简单的题目，常用此法.
例1 关于函数f（x）=sin2x-（23）|x|+12，看下面四个结论： ①f（x）是奇函数；
②当x>2015时，f（x）>12恒成立； ③f（x）的最大值是32； ④f（x）的最小值是-12.
其中正确结论的个数为（ ）.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
解析 f（x）=sin2x-（23）|x|+12=1-cos2x2-（23）|x|+12=1-12cos2x-（23）|x|
∴f（x）为偶函数，①错.∵当x=1000π时，x>2015， sin21000π=0，
∴f（1000π）=12-（23）1000π<12，②错.又∵-1≤cos2x≤1，∴12≤1-12cos2x≤32，从而1-12cos2x-（23）|x|<32，③错.又∵sin2x≥0，-（23）|x|≥-1，∴f（x） ≥-12，
当且仅当x=0时等号成立，可知④正确.故应选A.
题后反思 直接法是解答选择题最常用的基本方法，中、低档选择题可用此法迅速求解，直接法运用的范围很广，只要运算正确必能得到正确答案.
二、特例法
也称特值法、特形法，就是运用满足题设条件的某些特殊值、特殊关系或特殊图形对选项进行检验或推理，从而得到正确选项的方法，常用的特例法有特殊的数值、数列、函数、图形、角、位置等.
例2 设函数f（x）=2-x-1，x≤0
x（1/2），x>0，若f（x0）>1，则x0的取值范围为（ ）.
A.（-1，1） B.（-1，+∞）
C.（-∞，-2）∪（0，+∞）
D.（-∞，-1）∪（1，+∞）
解析 ∵f（12）=22<1， ∴12不符合题意，∴排除选项A、B、C，故应选D.
图1例3 已知函数f（x）=ax3+bx2+cx+d的图像如图1所示，则b的取值范围是（ ）.
A.（-∞，0） B.（0，1）
C.（1，2） D.（2， +∞）
解析 设函数f（x）=x（x-1）（x-2）=x3-3x2+2x.此时a=1， b=-3， c=2， d=0. 故应选A.
题后反思 这类题目若是脚踏实地来求解，不仅运算量大，而且很容易出错，但通过选择特殊值进行运算，则既快又准.当然，所选值必须满足已知条件.
三、排除法
排除法也叫筛选法或淘汰法，使用排除法的前提条件是答案唯一，具体做法是采用简捷有效的手段对各个备选答案进行“筛选”，将其中与题干相矛盾的干扰支逐一排除，从而获得正确结论.
例4 直线ax-y+b=0与圆x2+y2-2ax+2by=0的图像可能是（ ）.
解析 由圆的方程知圆必过原点，∴排除A、C选项.因圆心为（a，-b），由B、D两图中的圆可知a>0，-b>0.而直线方程可化为y=ax+b，故应选B.
题后反思 用排除法解选择题的一般规律是：①对于干扰支易于淘汰的选择题，可采用排除法，能剔除几个就先剔除几个；②允许使用题干中的部分条件淘汰选择支；③如果选择支中存在等效命题，因答案唯一，故等效命题应该同时排除；④如果选择支存在两个相反的或互不相容的，则其中至少有一个是假的；⑤如果选择支之间存在包含关系，须据题意定结论.
四、验证法
又叫代入法，就是将各个选择支分别代入条件去验证命题，能使命题成立的就是应选答案.
例5 在下列四个函数中，满足性质：“对于区间（1，2）上的任意x1，x2（x1≠x2），|f（x1）-f（x2）|<|x1-x2|恒成立”的只有（ ）.
A.f（x）=1x B.f（x）=|x|
C.f（x）=2x D. f（x）=x2
解析 当f（x）=1x时，|f（x1）-f（x2）||x1-x2|=1|x1x2|<1. ∴|f（x1）-f（x2）|<|x1-x2|恒成立. 故选A.
例6 若圆x2+y2=r2 （r>0）上恰有相异两点到直线4x-3y+25=0的距离等于1，则r的取值范围是（ ）.
A.[4，6] B.[4，6） C.（4，6] D.（4，6）
解析 圆心到直线4x-3y+25=0的距离为5，则当r=4时，圆上只有一个点到直线的距离为1，当r=6时，圆上有三个点到直线的距离等于1，故应选D.
题后反思 代入验证法适用于题设复杂、结论简单的选择题，这里把选项代入验证，若第一个恰好满足题意就没有必要继续验证了，大大提高了解题速度.
五、数形结合法
“数缺形时少直观，形少数时难入微”，对于一些具体几何背景的数学题，如能构造出与之相应的图形进行分析，则能在数形结合、以形助数中获得形象直观的解法.
例7 若函数y=f（x） （x∈R）满足f（x+2）=f（x）， 且x∈[-1，1]时，f（x）=|x|，则函数y=f（x） （x∈R）的图像与函数y=log3|x|的图像的交点个数为（ ）.
A.2 B.3 C.4 D.无数个
图2解析 如图2，在同一直角坐标系中，做出函数y=f（x）及y=log3|x|的图像，由图像可得其交点的个数为4个，故选C.
例8 设函数f（x）=2-x-1，x≤0，
x1/2，x>0.若f（x0）>1，则x0的取值范围为（ ）.
A.（-1，1）
B. （-∞，-2）∪（0，+∞）
C.（-1，+∞）
D. （-∞，-1）∪（1，+∞）
图3解析 如图3，在同一直角坐标系中，做出题设函数f（x） 和直线y=1的图像，它们相交于（-1，1）和（1，1）两点，则要使f（x0）>1，只要x0<-1或x0>1. 故选D.
题后反思 这种数形结合的解题策略，在解答有些选择题时非常简便有效，但一定要熟悉有关函数图像、方程曲线、几何图形等，否则错误的图像反会导致错选.
六、逻辑分析法
分析法就是根据结论的要求，通过对题干和选择支的关系进行观察分析、寻求充分条件，发现规律，从而做出正确判断的一种方法.分析法可分为定性分析法和定量分析法.
例9 若定义在区间（-1，0）内的函数f（x）=log2a（x+1）满足f（x）>0，则a的取值范围是（ ）.
A.（0，12） B.（0， 12]
C.（12，+∞） D.（0， +∞）
解析 要使f（x）>0成立，只要2a和x+1同时大于1或同时小于1成立，
当x∈（-1，0）时，x+1∈（0，1），则2a∈（0，1），故选A.
题后反思 分析法对能力要求较高，在解题过程中须保持平和心态，仔细分析，认真验证.
七、极端值法
从有限到无限，从近似到精确，从量变到质变，应用极端值法解决某些问题，可以避开抽象、复杂的运算，降低难度，优化解题过程.
例10 对任意θ∈（0，π2），都有（ ）.
A.sin（sinθ） B.sin（sinθ）>cosθ>cosθ（cosθ） C.sin（cosθ） D.sin（cosθ） 解析 当θ→0时，sin（sinθ）→0， cosθ→1，cosθ（cosθ）→cos1， 故排除A、B；当θ→π2， cos（sinθ）→cos1， cosθ→0， 故排除C， ∴选D. 例11 设a=sinα+cosα， b=sinβ+cosβ，且0<α<β<π4， 则（ ）. A.a B.a C.a D.a2+b22 解析 ∵0<α<β<π4，若令α→0，则a→1，b→2，a2+b22→32，易知：1<1.5<2<1.5.∴应选A. 题后反思 有一类比较大小的问题，使用常规方法难以奏效（或过于繁杂），又无特殊值可取，在这种情况下，取极限往往会收到意想不到的效果. 八、估值法 由于选择题提供了唯一正确的选择支，解答又无需过程，因此可通过猜测、合情推理、估算而获得答案，这样往往可以减少运算量，避免“小题大做”.
