在变式探究中看清本源

翁华木

例 已知数列[an]中，[a1=45，]

[]则[a2016]等于（ ）

A. [45] B. [35]

C. [25] D. [15]

这是一道以分段形式给出递推关系为命题背景的考查数列求值的问题，常规的数列递推式问题的求解思路是先探求其通项公式，再求值. 为了弄清数列的递推关系，我们不妨先求出此数列的前若干项，看清数列通项所呈现的规律，再去寻求数列的通项公式.

[在尝试中寻求解题方法]

解析 依题意知，当[a1=45]时，[a2=2×45-1=35.]

当[a2=35]时，[a3=2×35-1=15.]

当[a3=15]时，[a4=2×15=25.]

当[a4=25]时，[a5=2×25=45.]

所以数列[an]的周期为4，于是[a2016=a4×504=a4=25.]

答案 C

分析上面的求解过程，我们避开了数列求值题先探求数列的通项公式，再代值求解目标项的常规方法. 而是通过特值先求出数列的前若干项，再观察前若干项呈现的规律，得到这些项具有周期性，进而类比函数的周期性，得出数列[an]的周期变化规律，求出了目标项，实现了“小题巧做”的目的.

[在变式中展开命题探究]

数列是一类特殊的定义在正整数集上的函数，上面问题的求解，借助研究函数性质的方法，得出数列递推关系具有周期性，从而类比函数的周期性，从另一种思路得出了问题的答案. 顺着数列递推关系的周期性研究，我们给出如下变式.

变式1 若数列[an]满足：存在正整数[T]，对于任意的正整数[n]都有[an+T=an]成立，则称数列[an]为周期数列. 已知数列[an]满足[a1=m（m>0），][an+1=an-1，an>1，1an，0（1）当[m=23]时，[a5=] ；

（2）若[a3=4]，则[m]的所有取值之积为 .

解析 （1）[m=23]时，[a1=23，][a2=1a1=32，][a3=a2-1][=12，][a4=1a3=2，][a5=a4-1=1].

（2）[a1=m（m>0），]进行以下推算：若[1