谈一类数学题型的证题策略

林毅

【摘 要】数学题中，经常出现所谓“不论”类型的题目，即不论字母为何值或不论图形的位置如何变化，证明某结论成立。

【关键词】函数；方程；特殊值；图形

在数学教学中，经常出现所谓“不论”类型的题目，这类题目，历来都是很多学生学习的难点，成为知识的薄弱点。为了解决这一问题，本文将谈谈证明这类题的解题策略。

一、利用已掌握的知识，直接通过推理证得

这是常用的方法，在牵涉到二次方程、二次函数的一些题型中，经常利用判别式直接证明。

例1：证明：不论m为何实数，二次方程x2-（m2+6）x+2m2+8=0一定有两个不相等的正数根。

证明：△=[-（m2+6）]2-4（2m2+8） =（m2+2）>0

∴方程有两个不相等的实数根。

设方程的两根为α、β ∵α、β=2m2+8>0

∴二根同号，又α+β=m2+6>0

∴二根均为正。

∴方程有两个不相等的正数根。

二、通过取特殊值开路，由特殊过渡到一般性证明

既然字母不论为何值总有某结论成立，因此当字母取一些特殊值时，结论肯定成立，通过取特殊值时得出结论，再去验证字母取任何值时的结论也成立。

例2：已知关于x、y的二元一次方程：（a-1）x+（a+2）y+5-2a=0，当a每取一个值时，就得到一个方程。求证：不论a为何实数值，这些方程都是有一个公共解，并求出这个公共解。

证明：当a=0和a=1时，方程分别是：-x+2y+5=0和3y+3=0

解方程组；解得

把此解代入原方程：左边缘科学﹦3（a-1）-（a+2）+5-2a=0=右边

∴不论a为何实数值，是原方程的一个公共解。

三、通过特殊位置的图形所提供的线索，找到证题的途径和明确证题的方向

对于一些几何题，由于图形不论如何变化，总有某结论成立，我们可以选取图形的特殊位置，在这种情况下，往往结论清楚地显现出来，证题就有了明确的方向，就便于我们找到证题途径。

例3：如图1（1），ABCD、A/B/C/D/是两个边长相同的正方形，ABCD的位置固定，A/点固定在正方形ABCD的对角线的交点上。证明：不论正方形A/B/C/D/绕着A/点如何旋转，两个正方形重合部分的面积总是定值。

分析：如果正方形A/B/C/D/的位置恰好如图1（2）所示，即正方形A/B/C/D/的两条边和正方形ABCD的两条对角线重合，显然，这时两正方形重合部分的面积等于正方形面积的，这就是我们要确定的定值。对于一般情况，如图1（1）所示，由于△A/BC的面积等于正方形面积的，所以只要证明△A/EB与△A/FC等积就行了（E、F分别是AB与A/B/，BC与A/D/的交点），这由△A/EB≌△A/FC立即得证。