心路历程之外心

洪利芳

【摘要】 三角形的外心能从它的特征——到三角形三个顶点的距离相等出发帮助我们认识三角形，本文从三角形的外心的存在性、性质、作图、应用四个方面介绍了三角形的外心.

【关键词】 外心；外接圆；垂直平分线

三角形的五心“外心”“内心”“重心”“垂心”“旁心”给出了三角形的一些重要性质，对于我们认识三角形提供了帮助.下面笔者就对外心加以整理：

边中垂线交一点，用它可作外接圆，此点定义为“外心”，其到顶点长相等，要问最小覆盖圆，先看形状定圆心一般的，把三角形三条边的垂直平分线的交点叫作外心.

如图1，△ABC中，AB、AC、BC的中垂线的交点O即为△ABC的外心.

一、某大型主题乐园由动物园A、植物园B、水上乐园C组成，现要建一个圆形轨道将其连接起来，请问圆形轨道如何设置？

已知△ABC，请画出过点A、B、C的圆.

如图2这样，经过三角形各个顶点的圆叫作三角形的外接圆. 为了要作出三角形的外接圆，需要确定圆心和半径.

二、三角形外接圆的圆心与三角形三条边的垂直平分线有怎样的关系

如图2，记△ABC外接圆的圆心为O.

∵ OA = OB = OC，

∴点O在AB、BC、AC的垂直平分线上.

即三角形外接圆的圆心就是三角形三条边的垂直平分线的交点——外心.

三、性质

如图3，比较这三个三角形外心的位置，我们发现：

锐角三角形的外心在三角形的内部；

直角三角形的外心在三角形的边上；

钝角三角形的外心在三角形的外部.

根据三角形的外心的位置可以判定三角形的形状.

四、应用

某市要建一个大型圆形主题乐园，要求圆形乐园刚好把动物园A、植物园B和水上乐园C包括在内，又要使这个乐园的面积最小，请你给出这个主题乐园的施工图.

（1）若△ABC是锐角或直角三角形，则圆形公园的圆心设在外心处，半径为外接圆半径.

（2）若△ABC是钝角三角形，则圆形公园的圆心设在最长边的中点处，半径为最长边的一半.