巧用平面几何知识解解析几何的问题

林慧斌

摘 要：解析几何是高中数学的重要内容，在高考中分值所占的比重较大。在解题的过程中计算量大，对运算求解能力要求高。本文探索了如何应用平面几何的有关定理和性质解决解析几何中的轨迹问题和最值问题，减少解题的过程中计算量。

关键词：平面几何；解析几何；圆锥曲线；轨迹；最值

解析几何是高中数学的重要内容，高考中分值所占的比重较大。它的基本思想是利用代数的方法研究几何问题的基本特点和性质，因此，在解题的过程中计算量大，对运算求解能力要求高。很多学生在做题时只想着用高中所学的解析几何知识去解，忽略应用平面几何的知识。虽然解题时思路清楚，方向明确，但是浪费时间，不得不半途而废。事实上，如果学生能转换角度，巧妙运用平面几何知识，把题目中平面几何的本质挖掘出来，即可化繁为简。下面结合本人的教学经验和一些例题总结出几种利用平面几何知识巧解解析几何问题的方法。平面几何知识在解析几何中应用，最主要有两块内容：轨迹问题和最值问题。

一、轨迹问题的应用

求轨迹问题在解析几何中处于十分重要的地位。求轨迹方程的实质就是利用题设中的几何条件，用“坐标法”将其转化为寻求变量间的关系，这类问题除了考查学生对圆锥曲线的定义、几何性质等基本知识点的掌握还充分考查数形结合、函数与方程、化归与转化、分类讨论等数学思想方法，还涉及函数、方程、不等式、三角、平几等综合知识，因此它是高考考查的重要方向之一。

求轨迹方程的方法有：直接法、待定系数法、定义法、相关点法、参数法、交轨法等。纵观多年来的高考试题，学生如果能够巧妙运用平面几何的知识，把抽象的数学问题直观化、形象化，能避免复杂的计算与推理，大大简化了解题过程。

这题涉及到椭圆的定义，椭圆的几何性质，应用三角形中位线的性质使问题简化了大量的运算。

二、最值问题的应用

最值问题属于解析几何的综合问题，这种综合性体现在圆锥曲线、直线、圆、平面向量、不等式等知识的相互融合，解析几何中常见求最值常见的解法有两种：几何法、代数法。

若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形结合几何性质来解决。通过下面的问题，我们一起来看如何利用平面几何的知识解决问题。

例3：已知点P是抛物线上的动点，点P中y轴上的身影是M，点A的坐标是，则当时|PA|+|PM|的最小值为。

在研究抛物线的性质时，要注意定义的转化并结合图形分析，特别是平面几何的有关性质的应用，本题利用平面几何知识，即三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。

从近年的高考试题中，我们注意到解析几何所研究的问题以平面几何的性质为背景，并且现在高考特别提出“多考想，少考算”，所以学生在解题过程中为避免代数方法带来的繁杂、冗长的计算，应仔细分析题设中图形特征和数量关系，充分运用平面几何的有关知识，将几何问题化归为代数问题，这是解解析几何问题的一种基本技巧。

参考文献：

[1]杨文彬.研究与刷题[M].外语教学与研究出版社.

[2]许永忠.解惑108题[M].浙江大学出版社.

[3]教育部考试中心编. 2016年全国统一考试大纲的说明[M].高等教育出版社.

（作者单位：福建省龙海市龙海一中）