数理逻辑中一个撤消百年的悖论

忻鼎稼　周敏

罗素发布的一个逻辑矛盾不是无法解释的悖论，igR是集合论中一个由错误前提导致的自相矛盾，它是数学推理中违反逻辑排中原则必然导致荒谬的典型。百年来，它在相关学科中仍在宣传，其实这个所谓悖论百年前已经被策梅洛撤消，这是一段值得反思的历史。

1908年，德国数学家策梅洛（E.Zermelo）为集合论基础研究建立一组公理系统，以其中的“划分公理”解释了当时被称为罗素悖论的矛盾的起因，将其排除出集合论研究范畴，从而解除了它给数学和逻辑基础带来的威胁。但此后，对那个所谓的悖论不合事实的宣传在一个世纪中并没有停下来，进入21世纪以来，甚至在一些国际学术活动中被不适当地拔高了。本文介绍策梅洛建立公理系统将罗素悖论排除出集合论研究范畴的基本思想，继而说明那个所谓罗素悖论的起因能在经典集合论中直接得到解释，它只是从一个概念不完整的研究对象导出的自相矛盾，“无跟踪研究的必要，无发表价值”（策梅洛语），并以科学思维必须以逻辑排中原则为导向，为罗素悖论能在它被撤消后依然红极一时做出总结。

罗素发布了一个逻辑矛盾

任何数学分支的研究都是在特定的集合上展开的，集合的概念因而是数学研究最基本的出发点。集合论创始人、德国数学家康托尔（G.Cantor）将集合定义为“可以被思考的、彼此可区别的对象的全体”。而集合可分为两大类，一类是集合本身也是它自己的一个元素，例如“所有含三个以上元素的集合的全体所组成的集合”也是它自己的一个元素，因为它显然也含有三个以上的元素，另一类集合本身不是它自己的一个元素，这种集合更是普遍存在，例如任何有限集合就不是自己的一个元素。但1902年罗素（B.Russell）向逻辑学家弗雷格（G.Frege）通报他发现了一个矛盾：“自己不属于自己的集合的总体不能存在”，不然这个总体“既属于自己，又不能属于自己”。第二年罗素在他的专著《数学原理》中正式发表了那个矛盾并详加阐述，从此广泛传播。

由于那个矛盾在演绎过程中并没有违反集合论中的概念、定义，也没有违反逻辑推理规则，一些学者就将它视为悖论。由此，数学家担心康托尔关于集合的定义“能被思考的，且彼此可区分的对象的一个全体”在“自己不属于自己的集合”所组成的总体面前失效，哲学家和逻辑学家进而担心作为逻辑基础的“个体组成总体”的关系出现“个体真实、总体虚幻”的混乱，如此，集合论、逻辑学乃至于数学基础一时面临重大危机（史称第三次数学危机）。

但不到六年，那个所谓的悖论的起因就得到了解释：它是由错误的前提导致的自相矛盾，而不是无法解释的悖论，从而消除了对数学和逻辑基础的威胁，更推动数学基础研究走上公理化的新时期。然而对那个被撤消的所谓悖论的推崇，一个世纪来未能消退，进入21世纪，有人甚至将它拔高为“数学哲学的发明”“数学、数学哲学和逻辑的大汇合”。笔者以为，这说明罗素悖论虽被排除100多年，仍有必要认真地给以澄清。

在数学和逻辑学中出现有悖于普遍认识的荒谬结论时，首要的任务是弄清它是因命题的前提不真或推导过程失误引出的自相矛盾，还是因现有理论体系中的定义、概念和推导规则无法解释的悖论。例如所谓“2=1”的荒谬是由于推导过程中误用一个零值多项式为除式所致，只是一个谬论而不是悖论，它有警示作用而无学术内涵；但芝诺（Zeno）提出的“阿喀琉斯追不上乌龟”的怪论则由于当时尚未建立收敛数列极限的概念，无法解释其中错误所在，承认它是悖论。罗素发表他的发现后，虽在他的各类著作中反复阐述其解决的难度，却并没有将它称为悖论。谁最早将他的发现视为悖论已无据可考，但在1907年，已有一些论文中出现“罗素悖论”的称呼，此后进入教科书和各类专著，广为流传。2001年德国慕尼黑大学召开“罗素悖论百年”国际会议，发布的论文集总导言中给了它作为悖论的完整表述：“在万有集合即所有集合的集合的环境中，逻辑基本定则（排中原则）在自己不属于自己的集合的总体面前失效，朴素的康托尔集合论认领了这个失效的合理性，由此产生了罗素悖论。”笔者认为这不符合事实。康托尔建立的经典集合论中从未接受罗素发现的矛盾为集合理论体系中无法解释的悖论的论述，事实上也无法得出这样的结论。

罗素发现的矛盾不是悖论

事实上，1902年前，策梅洛在格丁根大学希尔伯特（D.Hilbert）的数学基础讨论班上已经提出类似罗素发现的那个矛盾，但他和希尔伯特讨论班没有称它为悖论。策梅洛的老师、哲学家胡塞尔（E.Husserl）在他的遗稿中，更有策梅洛在帮助他纠正对施罗德（E.Schroeder）一个命题所作批注的错误时发现这个矛盾的文字记载，但策梅洛认定那只是一个用反证策略所导出的矛盾，无独立的学术含义，无跟踪研究和发表的价值。当他在1907年读到将罗素发现的矛盾称为“罗素悖论”的论文时，更立即以书面形式告诉文章作者纳尔逊（L.Nelson）：“罗素发现的那个矛盾是由于前提概念的不完整所引出的自相矛盾，称它为悖论是不准确的。”并提请注意：“悖论的含义是违反常理但无任何内在矛盾”。这是先于罗素发现那个矛盾的策梅洛不将它视为悖论的完整记录。接着策梅洛在1908年的德国《数学年鉴》上，以《集合论基础研究》为题，将康托尔意义下对集合的概念、定义和规则整理后，成为集合论一组公理系统。并由其中的一条公理（他称为划分公理）“使定义在集合上的任一命题函数为真的元素的全体组成一个子集合”导出一个定理——“任何一个集合必（至少）有一个子集合不是它的元素”，由此显示“（罗素关心的）自己不属于自己的集合的总体”的背景集合——“一切集合的集合”“本身就不是一个集合”（策梅洛语）。取自结构不协调系统的某些子系统表现出“既属于它自己、但又不能属于它自己”的不协调不足为怪，罗素发现的矛盾起因得到解释，所谓悖论的说法从而被否定。

刊载策梅洛为集合论提出的第一个公理系统的论文《集合论基础研究》的发表，扫清了逻辑和数学基础研究的航道中的一块暗礁，臆想中的所谓“第三次数学危机”烟消云散，此堪称数理逻辑发展中的一个里程碑事件。希尔伯特当年是策梅洛那篇论文的主审，他坦承“从此成了策梅洛论文的崇拜者”。十多年后，他在格丁根的暑期研讨班上以《数学的逻辑问题》为题发表演讲时，依然热烈赞扬道：“成功地完成集合理论，并最严格地体现集合理论精神的人，在我看来，就是策梅洛。”更将排除罗素发布的矛盾的划分公理赞为“将数学问题归结为逻辑问题的最优秀的阐述”。这个评价非常中肯。策梅洛的划分公理将人们对集合概念的注意力由（康托尔）立足于元素间个体差异的定义，转为对集合同集合间总体差异的关心，揭示了集合概念的实质——“一个协调的系统（集合）中借助逻辑关系彼此区分的全体”，这是希尔伯特公理化思想影响下对集合概念认识的飞跃。哥德尔（K.Godel）赞扬划分公理为集合论公理系统中最本质的公理。

经典集合论能解释罗素发现的矛盾

罗素也知道策梅洛对他发现的那个矛盾给出了解释，并将它驱逐出集合概念的研究，也知道策梅洛早些时候在《数学年鉴》上发表的另一篇论文《关于正序定理的新证明》（1908年）中说他（策梅洛）早已发现那个矛盾、但不称它为悖论的声明，罗素没有作任何异议。四年后，在担任第五届国际数学家大会（1912年，伦敦）的哲学组主席时，罗素还热情邀请策梅洛到会作集合论公理化研究的报告，表现了学术上从善如流的品格。可惜此时的策梅洛已经将兴趣从集合论转到了建立博弈理论的研究，虽应邀到会，却只作了关于博弈论的报告，表明他认为已没必要继续为罗素悖论花时间，这是数学家们普遍存在的“重视创新而忽视普及”的一种表现。以后的发展证明，策梅洛这次忽视普及，代价是让不少学者误认为康托尔集合论中的概念和规则无法解释罗素悖论的起因，只有将集合论作公理化处理后才能做到。这种认识是对数学系统公理化的极大误解。

事实上，对一个已给的数学系统作公理化处理，只是将系统中原有概念和规则整理成一组相互独立的、不矛盾的一个完备体系，以使命题的演绎做到规范化和条理化。但犹如一个账目混乱的公司，聘到了称职的会计师后，能将账目理得一清二楚，却并不改变原有的收支盈亏情况那样，公理体系的建立丝毫不改变（扩大或缩小）原有理论体系的有效范围。最明显的例子是希尔伯特建立的欧氏几何公理系统，它虽然完美，却没有扩大研究范围，它依旧无法处理有关一般曲线等问题。策梅洛建立的集合公理体系也只是这样，他整理康托尔集合论中的原有概念和规则，成为公理系统，并没有加入新的成分，他在那篇历史性的论文《集合论基础研究》中就声明：“集合论现有的规则似乎受到了一些矛盾的冲击，而且似乎还没有找到合适的办法……我的任务就是要将康托尔和戴德金建立的整个理论归结为少量的定义和规则。”这不是谦虚而是事实，被划分公理撤消的所谓罗素悖论的确可在原有概念和规则中得到解释。

（实际上）康托尔此前建立的幂集定理（1899年）——“一个集合的元素不能同该集合的子集合建立一一对应”，就蕴涵了策梅洛以划分公理导出的那个基本定理——“任何集合中，必（至少）有一个子集合不是这个集合的元素”，进而（在万有集合——“一切集合的集合”的背景下）导出“自己不属于自己的集合的总体必含有一个不是它的元素、但又必须是它的元素的子集”的怪现象。这就说明那个总体的结构违反逻辑排中原则，若让它存在，任何怪象的出现都不奇怪。如此解释了它“既属于自己、又不能属于自己”的怪诞，从而说明罗素发现的那个矛盾不是康托尔集合论所无法解释的悖论。中国数学界元老陈建功院士在他的《实函数论》（科学出版社，1978年）中介绍“划分公理”时，也采用这样的分析步骤识别和排除罗素悖论，只是作为介绍划分公理的教材，没有写出康托尔幂集定理能直接识别和排除的事实。

事实上，罗素在那个矛盾的表述中已经隐含了矛盾的起因。他在《数学原理》中是这样写的：“由自己不是自己元素的集合所组成的总体将不再成为一个集合，因为无法表明它到底是不是一个集合。”这里所说的“无法表明”的论据就是一年前他给弗雷格的信中所写的关于那个总体是否属于它自己的矛盾：“给出任何回答，就立即跟上它的反面（From each answer its opposition follows）。”但罗素没有意识到关键的一点：他对那些“自己不属于自己的”集合没有再作其他限制，那它们就来自最广泛的“一切集合的集合”。因之那个矛盾的完整表述是：“在一切集合的集合中，由自己不是自己元素的集合所组成的总体不再成为一个集合。”但这样的表述实际上等价于以反证策略支持真命题“一切集合的集合不能存在”成立的步骤：设命题不真，即一切集合的集合存在，此时取其中自己不属于自己的集合组成的总体，就陷入既属于它自己、又不能属于它自己的违反逻辑排中原则的自相矛盾，因之命题（一切集合的集合不能存在）为真。这是任何有基本数学修养的人都熟悉的思维方式。

根本的道理是：一个数学系统若自身结构协调（例如有限集合），它的任何部分结构也必然协调。因之若一个数学系统的某一子系统结构不协调，就可断定整个系统自身结构不协调，这是最基本的逻辑，也是数学推理的常识。如此，罗素发布的矛盾只能用来说明“背景集合（一切集合的集合）的自身结构不协调，就是矛盾的起因”。可惜罗素当年发现和发布时，没有想到矛盾的背景集合，使得罗素悖论红极百年。

笔者认为，在德国慕尼黑大学召开的“罗素悖论百年”国际纪念活动中也依然没弄清这一点。会议在论文集的总导言《罗素——数学哲学的发明》中，给所谓的罗素悖论以如下表述：“在一切集合的集合中，逻辑基本定则（排中原则）在自己不属于自己的集合的总体面前失效，朴素的康托尔集合论认领了失效的合理性，由此产生了罗素悖论。”比起罗素当年有所进步的是“总导言”注意到了“自己不属于自己的集合的背景集合”，接下来本来应该是用“逻辑排中原则在自己不属于自己的集合组成的总体面前失效”的矛盾来指出背景集合的不协调，给出矛盾的起因，却倒过来用来支持矛盾的合理性（即所谓“朴素的康托尔集合论认领了矛盾”），还说成是产生了罗素悖论。

与此形成对比的是：罗素当年发布他的发现之前，策梅洛已以反证策略证明了“以自己的子集合为元素的集合结构不相容”（注：罗素矛盾的背景集合“一切集合的集合”是“以自己子集合为元素的集合”的极端情况），因而在反证过程中才会引出了在这类集合中“由自己不属于自己的子集合组成的总体既属于自己，又不能属于自己”的怪诞。但策梅洛清醒地认识到那只能说明来自前提错误，而不能得出“朴素的康托尔集合论认领这个矛盾，更产生什么策梅洛悖论”的结论。他认定这种矛盾（包括罗素发布的矛盾）“数学内涵甚少”，因而从未以任何形式公开发布他这个发现，只在希尔伯特讨论班上交流，以及帮助他的老师胡塞尔纠正对“以自己的子集合为元素的集合不能存在”的错误评论时提到了他那个发现，而后者在八十年后（1981年）才被人找到。

坚持逻辑排中原则

回顾排除罗素悖论的历史，重申罗素发布的矛盾不是无法解释的悖论，并没有降低罗素发布他发现的矛盾的历史功绩。事实上它的发布让以策梅洛为代表的数学家们认识到作为数学基础重要分支的集合论受到了怀疑，下决心将康托尔建立的概念和规则整理为一个相互协调的公理系统，以规范问题的处理，使之有效地识别和驱逐某些似是而非的概念混入，这极大地推进了集合论乃至其他数学分支的公理化建设，促进数学基础研究现代化的面貌，其中也应有罗素的功劳。但罗素悖论被否定后种种不合事实的高调赞誉仍延续百年，值得反思。

从根本上说，1902年罗素矛盾的提出和它六年后（1908年）被排除是数学和逻辑基础研究队伍接受逻辑推演排中原则的一次检阅。逻辑排中原则——“一个命题要么它是真的，要么是它的反面”，其道理杯水见底，效应坚韧如钢，是科学探索避免误入歧路的指路明灯。对罗素发布的那个“既属于自己、又不能属于自己”的矛盾，一些学者们表现出的惊恐正是出于对逻辑排中原则的敬畏；策梅洛整理集合论基础为一组公理，最后以划分公理排除这个矛盾，表现了决不放过对违反排中原则现象追究的决心。可以说罗素发现那个矛盾，和最后该矛盾被排除，就是逻辑排中原则引路护航的历史。

策梅洛为集合论完成公理化建设后就离开集合论研究，20年后（1929年）应邀为华沙的（波兰）数学协会做了总题目为《数学和直觉》的九场讲座，他将“逻辑推理三段论和排中原则（On Disjunctive Systems and the Principle of the Excluded Middle）”单列一个主题（第二讲），针对那些年此起彼落地将一些概念不清的自相矛盾当作悖论发布的现象，指出这些都源起于对坚持逻辑排中原则的放松，他告诫道：“作为科学证明主要工具的数学，或严格地说建立在三段论基础上的逻辑推理，本质上就是基于排中的原则。”“数学有别于直觉，就在于它遵循逻辑排中原则。没有排中原则，数学就不再成为数学。”今天更令人坚信，罗素悖论被宦传百年，那只能是忽视排中原则引出的旋涡。逻辑排中原则是科学思维免于走入歧途的指路明灯。