以直观操作内化概念本质的实践研究

孙林美

【摘 要】笔者从三上学生掌握“周长”的实际情况出发，存在“周长”概念教学中对图形概念掌握偏差导致的问题，“周长的边线概念不清晰”“一周概念模糊”“强调周的概念弱化长的度量”，经过实践研究，笔者从五方面着手，“直观对比——抽象一周”，“直观对比——抽象一周”“多种展示——直观长度”“自主操作——辨析封闭”“组图周长——提升概念”通过实践操作教学，提高学生对“周长”概念的掌握，以此为鉴提高数形结合与相融。

【关键词】概念 边线 直观操作

一、问题的提出

周长是三年级上册数学中的一个难点，作为概念课的引入，学生对“周长”的本质属性掌握不全面，直接影响理解、运用。因此，怎样让三年级学生能够在概念新课的时候，通过实践操作、直观体验，更全面掌握其本质属性，为后续的学习奠定扎实基础，是笔者一直思考的。

笔者通常发现，在新课结束后，学生对周长的理解，通常就是两条长加两条宽，或者长加宽的和乘2。直接趋于公式化的记忆，缺乏直观意义的理解和内化。在后续的学习中，学生对组合图形，不规则图形的周长的解决问题非常弱，不利于高段的综合解决问题。

（一）出现的问题

1.周长概念不清晰

通常周长与面积的内容是三年级分两个学期教学。三上教学周长，当时学生的错误率不高，但是到第二学期开始讲面积的时候，学生对周长面积往往分不清。例如：给你12厘米的一根线，在一平方厘米的方格板中可以围成多少种不同形状的长方形？

学生最容易出错的一个是，他们围出的是12平方厘米的长方形（长12厘米，宽1厘米；长6厘米，宽2厘米；长4厘米，宽3厘米；）

可以看出学生在围图形的时候，看到的是方格图，对12厘米的线的长度概念弱化，此时只从图形的大小与边的关系直接建立联系。引起直接的错误。

2.组合图形的周长不会做

在新课例题中，简单的单一、不规则图形能够较好的理解，但是对于图文中间有纹路的图形，学生开始犹豫，这些纹路需要算吗？它们算周长吗？

例如用正方形铺成的台阶，请算一算它的周长是多少？

学生出现的错误把中间的线都算成周长了，因为它们是正方形铺成的，正方形周长四边要求，这个也求导致最后错误。

（二）出现问题的原因

每次教学，我们都会让学生经历周长的摸一摸物体的一周，用一根线围一围图形，最后总结出长方形正方形的周长公式。当第二次进入课堂，问学生长方形周长是什么？大部分学生会告诉你长方形周长公式。孩子们觉得自己已经掌握长方形周长的方法，但是经不起推敲，图形一变，学生错误摆出，究其原因是对周长本质属性掌握不佳。

1.周长的边线概念不清晰

每次上周长，我们都让学生摸一摸图形的一周是怎样的，学生一边在摸，学生对一周有知觉体验，但是对于长度，这个抽象体验是不足的。一条围在一圈的圖形，长度到底有多少，学生不知道，反而在摸的时候，对于面的大小概念有初步的体验，此时学生在摸的时候，随着一周概念的建立，感知这个图形面的大小也初步建立，这是周长与面积容易混淆的第一个感知建立，这时候，对于一周线长度的建立缺失，就是导致后续面积与周长混淆的症结。

因此，应当让学生明白，为了这么一圈，其实是一条线，用一条线跟一圈，这个长度大约是这么多。此时，一定要让学生明晰，此时的周长是一条有长度的“边线”，而不是模糊的一片大小。

2.周长“一周”概念模糊

对于单独一个图形，学生的一周概念建立是清晰的，但组合图形出现的时候，就出现问题。学生经历单独图形周长的一周感知，每条边围成一个图形的周长，这样组合图形的时候，学生往往容易思维定式，忽视大图一周的长度，而是把所有的图形的外周都相加。因此，如何让学生在单个图形组合中感知周长是外周一圈的长度，十分重要。同时也是一种新的思维模式产生。

3.强调“周”的概念，弱化“长”的度量

新课概念教学中，我们主要强调让学生指一指图形的周长，有时“指一指周长”这样的语言描述在有些版本的教材上也有所呈现。基于这些操作，学生认为图形的一周即“周长”。

在实际的操作中，“周长”是一周的长度，“一周”可以指一指，但是“长度”却需要测量。“指周长”仅仅指的是图形的一周边线，并不是一周边线的长度。因此在这样的直观教学中“指一指”只能用在指边线的范围，指“周长”明显不合适。

二、研究结果与启示

直观操作指学生通过摆一摆，想一想，比一比，看一看等多感官的动手实践中经历概念问题的思考过程，逐步把动手的过程与思考过程相结合，内化概念，提升数学思维。

周长是一个概念课，是指封闭图形一周的长度。对于三年级孩子，“封闭”概念有些模糊，理解起来有些困难，“一周”，“长度”看似简单的词语，在具体的图形理解中还是困难重重。因此，只有让学生进行动手实践后，积累一定的实践积累，经历体验、感悟后对于周长的概念才是生动的，更是深刻的。

1.直观对比——抽象一周

顾名思义，“周长”由“周”和“长”组成。抽象“一周”的过程，非常有必要。通常的教学中，笔者更喜欢让学生到黑板上指一指，黑板的一周在哪里，门的一周在哪里，学生几乎不会出错地这一圈。但是当沒有特定的情节和要求规范时，学生指的“一周”往往与图形的形状、面的大小产生联系。

因此，让学生能够把图形的“周”从物体本身抽象出来，需要一定的情景配合与引导，笔者做如下尝试。

案例研究：

小明是个小画家，他画了一幅画，老师觉得他画得非常棒，要和小明一起做一个画框，裱起来。

师：这幅画的画框该怎么装呢？小强提了这样一个建议，一起来看

师：小朋友，你同意他们这样做画框吗？

学生：我不同意。

师：为什么？

学生：这样做画框有另外两边没有包住，画框容易掉下来，而且也保护不了整幅画。

学生：我觉得应该把外面一圈都包起来，不是只包两边。

师：哦，什么是“一圈”的意思？

学生：一圈就是把外面的四条边都包起来。

学生：一圈就是从这个点开始，外面围一圈，又回到这个点（同时用手势表示了一番）。

说完，全班的同学都跟着他一起画了一个圈。

师：你能够用动作或手势来表示吗？

（学生有些是用一个手指在空中画圈，有些是两只手一起画圈，还有的是同桌相互合作画圈，一个学生站起来说：“我觉得我们体育课在操场上沿着跑到跑一圈回到开始的地方也是一圈。”）

师：一圈的共同之处是什么呢？

学生：都是从一个点出发，又回到这个点。

师：小朋友表达得很清楚，一圈就是从一个点出发，再次回到这个点。中间不能断开，“一圈”可以说成“一周”，给画安装一个画框可以表示成给画一周安装画框。

研究启示：

学生对“一周”的生活感受较多，但是仅停留在浅层次的理解上。学生通过说一圈，表示一圈，帮助他们由实物模型的感知建构起对应的“概念意象”。实现生活化到数学化的过渡。学生通过演示，在操作中加深了对一周的理解，为“一周”的抽象奠定基础。

2.指图形“周”——理解边线

很多孩子，要求他指出图形的周长，会指一圈，此时他对一周的“边”与这一圈的面的大小区分是模糊的。因此，借着给画装画框的情景中，让学生理解周长其实是一周的长度，而与里面的面没有必然联系。

案例研究：

（1）指一指“边线”，对边线建立概念

师：李扬小朋友觉得画框可以这样安装。大家一起看。

学生：这样安装不可以。

师：为什么？

生：这样装画框，整幅画的破坏了。一点也不好看。

生：画框安装的位置不合适，应该装在紧贴着画的外面的一周。

师：你能够上来指一指画的边沿线吗？

（学生上前，用手沿着边沿线画了一圈）

（再用课件把这边沿线描红走一圈，同时把这个红框用闪动，进行边线的强化。）

老师：如果我有以下这些字画，要在它们的一周镶一个框，请你指一指，应该怎么镶？

学生从画的一个点开始，沿着画的边线安装一周。

（2）练习纸上的图形找边线，巩固边线概念

（3）从图形中抽象出画的边沿线

想象一下，从三幅画里把三个画框卸下来会是什么形状呢？

生：这样卸下来的画框有长方形，圆形，像扇子形。

师：像第三幅图这样的叫做不规则图形。

研究启示：

图形的周长就是用去测量它的边线的长度。在测量长度之前，对“边线”必须非常清晰、明确。

安装画框中，笔者运用了正确与错误的形式，激发学生思维认知的冲突，引出生活化图形的边线，自然过渡到数学化的边线。结合具体事物说说哪里安装——引出“边线”，描一描图形的“边线”，对比边线（规则图形和不规则图形两种情况）。

从实物图，思考它们留下边线是什么图形，想象边线等这一系列的活动，一方面突出對“边线”的感知，完善了“一周”的概念，为“长”的理解做好了准备；另一方面物化为形，从食物图形抽象到集合图形的过程，让学生经历周长的抽象过程，培养学生的空间观念。

3.多种展示——直观长度

周长的测量与计算，要突出“周长”最终是一条线的长度，与面没有必然联系。经历这个过程，学生可避免周长与面之间的混淆，更加对周长概念更加清晰。

案例研究：

（1）规则图形的周长测量

小明和老师要做的那幅长方形画框，到底需要用多少材料呢？为了方便，我们把这个画框从画上拆下来，请看（此时，一定用课件把这幅画的画框从画上拓下来），让周长清晰地表明是一个框，而不是一个面。

师：这个画框的一周是多少呢？

生：我可以用尺子量一量。

生：可以只要量出一条长和一条宽的长度就可以了，因为长方形对边相等。这样四条边都知道了，周长也就明白了。

师：这个长方形的周长到底是多少呢？

生：我量过了，长45厘米，宽25厘米，这样四条边的和是45+45+25+25=140厘米。

师：140表示的是什么呢？

生：就是长方形一周的长度。两条长和两条宽一共的长度。

（结合学生说的，教师进行课间演示，一条一条从长方形的边上拓下来：）

（2）不规则图形的测量

师：刚才我们通过测量和计算，知道了长方形画的周长，现在下面这两幅画的边框我们又该怎么知道呢？

（同桌合作，一起思考测量）

生：我用一根绳子把圆沿着边线绕一圈，做好记号，然后用尺子量一量这根线一共长多少。我量了一下，这个大约是34厘米

生：我用软尺沿着图形的边线测量一圈，这样就知道这个图形的一周是多少長。我量了这个扇子形状的周长，大约是24厘米。

师：看来同学们都在动脑筋了。面对这些图形他们的边线不是规则的直线时，通过软的线和尺子量一量，最终也能够得到图形的周长。这样的思想是“化曲为直”。

研究启示：

如果直接让学生测量实物的周长，在过去的教学中容易出现学生被“面”的因素干扰，增加学生对“周长”的认知难度。因此笔者在教学中做了以下调整。

①展现“边线”从实物中抽象的过程

当把长方形画的画框从画上抽象出来时，脱离实物的整体，展现周长的本质，图形外面的一周，淡化“面”的干扰。

②把周长外边的一周用线表示长度

经過直观操作，配合课间演示，把长方形每条边依次拼接起来，使四条边连接成一条线段，展现长方形周长边线的移动过程，学生很容易发现“周长”就是拼成的“线段的长度”，这一拼接的过程有利于学生建构周长概念的 本质——一周边线的长度更加具体化、形象化。

③ “化曲为直”思想落实

通过测量长方形、圆形和不规则画框的周长，进一步让学生理解测量这些图形的周长本质上都是一样的（都是度量边线的长度），只是测量方法有所不同，能直接用直尺度量的就用直尺来度量，不能用直尺量的，可以用“化曲为直”的方法量。在这样的直观操作中，学生对“周长”概念的理解更加深刻，学生感悟到无论用什么方法计算平面图形的周长，都是把四周所有边的长度加起来。

4.自主操作——辨析封闭

在自主实践操作过程中，给予学生一定的小棒，摆一摆图形，在不同图形的摆放中，感知图形有周长、无周长，周长怎么计算等。

案例研究：

（1）提供小棒摆图形

师：小朋友，请用4根小棒，6根小棒分别可以摆哪些图形，请你摆在桌面上，并计算它的周长。

①学生反馈：

A.四根小棒的图形

B.六根小棒摆的图形

学生表示B组的图形周长都是60厘米，就是把图形“边沿”的一周加起来线段的长度。

②A组提出疑问

生：我觉得在A组中，只有正方形和平行四边形有周长，还有一个角是没有周长。

师：都是用4根小棒拼成的，为什么这个角的形状没有周长呢？

生：因为正方形和平行四边形四周都是小棒围起来的，但是角没有，角又一个缺口。周长是图形边线的一周，角另外两端没有连起来，所以角的这个图形没有周长。

生：我也觉得角这幅图没有周长，因为不能指出它的一周在哪里，中间断开了。

生：我觉得角这幅图没有周长，因为它不能从一个点出发再回到这个点，所以角这幅图没有周长。

④改变角变成有周长的图形。

生：可以增加一根小棒，变成三角形

生：可以增加2根小棒，变成四边形

生：增加3根小棒，变成五边形。

（下转174页）

（上接114页）师：原来有很多种方法，只要有一点让它的四周围成一圈，变成封闭图形，这样一周的边线长度就是它的周长。

研究启示：

建立周长概念，需借助动手实践操作，因为它顺应儿童认知发展由外部动作到内部思维的规律。用小棒摆一摆，学生在动手操作中经历了围图形——看边线——算长度的过程，把静态的周长概念动态地呈现。用相同数量的小棒，摆出周长相等的图形。学生在操作中，感知周长指的是“图形各边长度之和”，“一周边线的长度”，加深了对“周长”的理解。同时相同的小棒可以摆出不同形状的图形，虽然形状不同，但是周长却一样。在周长的计算中，初步建立面的大小与周长没有必然联系。

教师以摆出的不封闭图形作为反例，使學生在正、反例的对比辨析中，完善了“封闭图形才有周长”的认识，进一步凸显周长概念的本质。

5.组图周长——提升概念

组合图形的周长计算，最能够检验学生对周长的应用理解，因此在课堂最后留两题辨析题，有利于学生对周长理解的提升。

案例研究：

组合图形周长与原来单个数的比较

老师这里有两个一摸一样的的长方形，如果把这两个长方形拼在一起，它的周长与原来两个长方形周长之和有关系吗？

生：我认为是相等的，拼好后的图形周长就是原来两个长方形周长的和。

生：我认为不相等。因为两个长方形拼在一起后，有两条边是重合了，不属于图形外面的边线，所以，拼好后的图形周长应该比原来两个长方形图形周长和要少。

一个图形对半分后两图周长与原图周长的关系

师：老师这里还有一个长方形，如果把长方形沿着对角线剪开，得到两个图形，这个图形的周长是原来长方形周长的一半吗？

生：不是原长方形周长的一半，剪开后又增加了一条边。

师：你的意思是说加上这条三角形的斜边。图形拼组和拆分后，新图形的周长是新图形一周边线的长度，需要注意与原图形周长的区别。

研究启示：

进行长方形框架的拆分和拼组，目的是提高对“周长”概念的认知，加深对“一周边线的长度才是这个图形的周长”的理解，更加深刻巩固对“周长”概念的广泛应用。

通过对“周长”概念的教学，静态的“教学定义”过渡到“动态的思维”生成过程，对学生掌握相关的数学概念十分有益。

三、结语

笔者认为在图形与几何领域的概念教学中，重视直观操作对学生建构概念本质的帮助作用。借助具体形象的操作活动，把抽象的知识具体化，关注基于图形之间的转换和图形的想象，培养学生的“动态想象”能力，积累学生的数学活动经验，发展学生的空间观念。让学生经历具体的直观的操作过程而获得的学习体验，其教学的价值不仅表现在获得知识的结果上，更体现在理解知识的过程之中，特别是学生在这一过程中进行的积极思考、自主建构，这是数学课堂教学中应关注的基本数学素养问题。

参考文献

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