科教协同理念下数学课堂中的案例收集

李科赞　祝光湖　刘期怀

摘要：任何数学概念的提出都具有相应的实际背景和理论意义，虽然教材上已给出了相应的经典实例，但有些例子与学生的实现生活环境联系得不够紧密。在科教协同理念下，本文通过收集教师科研中的实例或与学生息息相关的生活例子，以此再现理论知识在具体问题中的应用，以此提高学生的学习积极性以及加深学生对相关概念的理解。

关键词：协同理念；数学课堂；案例

中图分类号：G642.41 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2016）34-0176-02

一、引言

课堂教学是高校人才培养中最为重要的环节，为了进一步提高教学质量和解决当下若干突出的教与学之间的矛盾，课堂教学方法的改革必须与时俱进，务实求新[1-6]。当下存在的主要问题包括：（1）学生上课的积极性不够高。作为教师，面对此种情形，应该要想方设法进行教学方式的调整和改革，调动学生的学习积极性，为提高教学效果和质量奠定基础。（2）学生对理论知识的理解和把握能力严重不足。数学是一门极其抽象的科学，传统的教学内容学生普遍感觉理论性太强、定理太多、公式太多、知识点太多。通过平时的交流和课程考试情况分析来看，学生对基础理论知识掌握得很不好，因此，必须在教学方式方法上进行适度改革。

我们的科研方向之一是复杂网络上的同步动力学与传播动力学研究，基于此研究方向以及日常生活事件，针对《数学分析I》中的各章[7，8]，分别例举一至两个实例，在课堂中向学生们进行介绍，从而提高学生的学习积极性以及加深他们对相关概念的理解力，并且让学生们体会到数学知识在解决实际问题中的重要性。

二、案例收集

1.实数集与函数。

例1.1 实数分为有理数和无理数，无限不循环小数为无理数，其他实数皆为有理数，如果一个数是实数的话，那么一定可以写成p/q的形式，其中p，q为整数，q≠0，否则就是无理数。生活当中我们与实数常常打交道，例如大家平时去超市购物，所花费的费用都是实数，费用属于[0，+∞）这样一个实数集合，并且是有理数；同学们的考试成绩都是实数，并且成绩通常属于闭区间[0，100]这样一个实数集合；同学们中学阶段常常用到的圆周率π也是实数，并且它是一个无理数。实数集具有完备性，即连续性，此内容將在本门课程中详细讲解。

例1.2 假设本班有n个学生，从1开始对每个学生进行编号，这样的话，每个编号就对应一个体重，不会出现“存在一个编号对应着两个不同体重”的情况。事实上，这种对应关系就确定了一个函数。定义域为D={1，2…，n}，对应法则f为“每个编号对应着该学生的体重”。

2.数列极限。

例2.1 奥运会中，每个运动项目都有世界纪录，这个纪录就是今后其他运动员挑战的极限，当然，该极限与我们数学中的极限还是区别的。因为当世界纪录被打破之后，该极限就不是极限了，而数学中的极限具有唯一性。设数列{a■}的极限为a，则当下标n充分大时，a■与a充分接近，其中a为一个确定的有限的数。

例2.2 利用Matlab求数列{1/2■}以及{2■}的极限。

针对数列{1/2■}的Matlab程序可如下编辑：

n=100；

an=zeros（1，n）； %定义数列的一般项

for i=1∶n %利用for循环语句

an（i）=1/（2^i）； %计算一般项的值

end

plot（an）；

该程序运行的结果随着n充分大时，1/2■与0充分接近，因此该数列的极限为0。

针对数列{2■}的Matlab程序可如下编辑：

n=20；

an=zeros（1，n）； %定义数列的一般项

for i=1∶n %利用for循环语句

an（i）=2^i； %计算一般项的值

end

plot（an）；

该程序运行的结果随着n充分大时，{2■}趋向于无穷大，不与任何的有限数靠近，因此该数列没有极限。

3.函数极限。

例3.1 当前复杂网络上的传染病动力学是学术界的一个热点研究课题，该问题与人类的健康与生存息息相关。在研究复杂网络上的传播动力学时，常常会碰到这样一个函数I（t），它表示在t时刻整个网络中感染个体的密度，例如网络总人口为1000人，如果在 时刻有500人被感染某种传染性疾病，则I（t）=0.5。一个重要的理论问题是，在什么样的条件下当t→+∞有

I（t）→0。这个问题就牵扯到一个极限问题，它涉及到动力系统中平衡点的稳定性问题。

4.函数的连续性。

例4.1 设T（t）表示在t时刻的气温，当时间变化很小时，气温的变化也很小，从而T（t）是连续函数。大家在使用鼠标的时候，如果设置合理的话，当你轻微地移动鼠标的时候，电脑屏幕上的光标也会轻微地移动，即连续地移动；如果设置不合理，或者设备出现故障，当你轻微移动鼠标的时候，电脑屏幕上的光标会剧烈地移动，即不连续地移动。

例4.2 近二十年来，复杂网络上的同步动力学是学术界的一个热点研究课题，它在许多领域都有着广泛的应用，例如保密通讯、参数辨识以及多智能体系统的一致性等。设x（t），y（t）是两个不同系统的状态变量，当t→+∞时，如果有x（t）→y（t），则称x（t）和y（t）同步，这里一个通常假定的前提条件是x（t）和y（t）都是关于时刻t的连续函数。

5.导数和微分。

例5.1 无论是研究复杂网络上的同步动力学，还是传染病动力学，常被研究的数学模型可以抽象为以下的常微分方程：

■=f（x（t））

我们可以看到，该方程的左边就是函数x（t）对时间t的导数，f（x（t））指的就是函数x（t）的变化率，x（t）的变化规律完全由f（x（t））确定。进一步，我们可以得到

dx（t）=f（x（t））dt

这里dx（t）就是函数x（t）的微分。

6.微分中值定理及其应用。

例6.1 网络传播阈值分析是研究复杂网络传播动力学的一个关键问题。在求解传播阈值时，常常会讨论自我维持方程的非平凡根（非零根）的存在性问题，针对该问题可以利用函数的单调性与导数之间的关系进行解决。

该问题可如下描述：

考虑自我维持方程θ=■■kp（k）■

其中θ表示在网络中随机选择一条边并指向感染节点的概率，p（k）表示网络的度分布函数，定义为在网络中随机选择一个节点，其度为k的概率，〈k〉=

∑kp（k）表示网络的平均度，λ为疾病的传染率，即健康个体与感染个体接触时，在单位时间内健康个体被感染的概率。问题是：在什么条件下上述关于θ的方程存在非零根？为此，记上式右边为f（θ）显然非负函数f（θ），θ∈[0，1]可导，且满足f（0）=0，f（1）<1。结合几何分析，容易得到，只要f'（0）≥1，则θ=f（θ）至少存在一個非零根。

三、结束语

在科教协同理念下，本文针对《数学分析I》课程的各个章节，分别给出了一些具有代表性的案例，力求趣味性和实用性。通过这些案例的收集，必将丰富课堂教学内容，使学生体会到数学知识的魅力。同时，结合Matlab数学软件，将一些数学问题以比较直观的方式展示出来，不仅使学生加深了对基本概念的理解，而且培养了学生运用计算机解决数学问题的能力。

在今后的教学过程中，我们将进一步完善案例收集和分析工作，保留学生感兴趣且容易理解的案例，并不断增加案例库的内容，为提升课堂教学质量打下良好的教学资源基础。

参考文献：

[1]刘长江，吴伦红.高等数学教学创新的探索与尝试[J].科技信息，2007，（18）：180-202.

[2]李雅瑞.高等数学教学方法改革与创新能力培养的研究[J].工科数学，2002，（18）：43-45.

[3]李岚.高等数学教学改革研究进展[J].大学数学，2007，（23）：20-26.

[4]郭欣.融入数学建模思想的高等数学教学研究[J].科技创新导报，2012，（30）：165-166.

[5]刘莉，刘传宝.谈谈高等数学教学改革与数学实验的探索[J].中国科教创新导刊，2012，（10）：40-42.

[6]杨雨润.浅谈以问题驱动的应用数学研究与应用数学专业课程存在的问题和改革[J].中国科技信息，2012，（10）：202-202.

[7]华东师范大学数学系.数学分析（上册）[M].北京：高等教育出版社，2008.

[8]陈纪修，於崇华.数学分析第二版（上册）[M].北京：高等教育出版社，2004.