数学教学“精致化”分析与“选择性”决策的方法

邬云德

（宁波市象山县石浦中学，浙江 宁波 315731）

《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称《课标》）根据数学具有过程和结果二重性特征，倡导统筹兼顾过程与结果，以全面发挥数学的育人功能。但大量课堂观察发现，目前课堂教学普遍存在过程教育不到位的问题，特别是获得数学结果（或解决问题）的认知过程短暂（甚至不规范）和获得数学结果（或解决问题）之后的反思过程缺失。究其原因主要是教师选择的教学内容、方法与过程教育理念存在偏差。笔者在初中数学“过程教育”课例研究中得到的经验是：选择体现过程教育理念的教学内容与方法需要经历“精致化”分析与“选择性”决策的过程。本文结合浙教版《义务教育教科书·数学》八年级下册第二章第1节“一元二次方程”，介绍“精致化”分析与“选择性”决策的方法，供读者参考、研究。

一、“精致化”分析方法

（一）析出并分解章节核心概念

核心概念是指最基本、最主要的内容——其他内容是由此衍生出来的。[1]析出章节核心概念就是从涉及章节内容中分析出最基本、最主要的内容。分解核心概念就是根据概念的逻辑体系或词汇意义进行具体分解。

根据核心概念的含义及分解核心概念的方法，课例“一元二次方程”的核心概念是“一元二次方程”，其分解后的逻辑体系可用图1表示。

（二）厘清并解析涉及的数学结果

数学结果是具有显性特征的数学活动成果（思维的结果、经验的结果），它包括数学中的事实、概念、性质、定理、公式、法则、规律、方法、问题与结论等。它是数学课程内容的主要组成部分。[2]厘清涉及的数学结果就是根据数学结果的含义，从章节核心概念的概念体系中整理出涉及的数学结果。解析涉及的数学结果就是解析涉及数学结果的地位与作用——研究的背景、研究对象在数学体系中的位置、涉及数学结果在解决数学内部和外部问题中的作用、获得涉及数学结果的方法对进一步学习数学的影响。

图1 一元二次方程概念体系

根据数学结果的含义，从图1中可以整理出“一元二次方程”涉及的数学结果的逻辑关系（见图2）。

根据数学结果地位与作用的含义，“一元二次方程”的地位与作用是：一元二次方程是为满足解决实际问题和进一步学习数学的需要提出来的，是系统研究方程的继续。方程是数学中的核心概念，而一元二次方程是特殊方程；根据具体问题中的条件列出方程及求二次项系数、一次项系数、常数项和用方程解的概念求方程中的字母系数值是基本技能；具体到抽象和特殊到一般的研究方法及获得一元二次方程概念的步骤对后继学习有指导作用。

（三）论证并说明获得数学结果的认知过程和认知条件

数学结果的形成、应用的过程和其蕴含的数学思想方法也是课程内容的有机组成部分。[3]论证认知过程和认知条件就是运用学习任务分析理论，分析获得数学结果的步骤和认知所需要的必要条件（学习中不可缺少的条件——学习新知识必须具备的先决条件）和支持性条件（对学习起“催化剂”作用的条件——数学认知策略，数学思想方法，数学活动经验、态度等）。[4]认知过程和认知条件就是说明认知过程和所蕴含的数学思想方法对发展学生智力、能力和个性的影响。

“一元二次方程”的认知过程和认知条件的分析及认知价值的说明如下：

1.尽管根据奥苏贝尔的“概念获得过程”理论，一元二次方程可以看成是从生活问题中抽象出来的，也可以看成是从方程概念中演绎出来的，又可以看成是从类比一元一次方程概念得出来的，还可以看成是从二次三项式中演绎出来的。但采用从生活问题中抽象出一元二次方程的方式，更能反映方程的数学本质，也能分解列方程的难点。所以产生一元二次方程的认知过程是“审题→分析→列方程”；其必要条件是“能分析出问题中的数量关系”；其支持性条件是“抽象思想、列式经验”；其认知价值有：列方程的过程有能力发展点，其蕴含的生活常识、抽象思想、模型化思想等对发展学生智力有积极作用。

2.由于从生活问题中抽象出来的是特殊的一元二次方程，所以定义一元二次方程要采用归纳方式。根据奥苏贝尔的“概念形成”理论，定义一元二次方程的认知过程和认知条件可用图3表示。

从图3中可以看出：定义一元二次方程的基本步骤是“观察一元二次方程的个体特征→归纳一元二次方程的共同特征→抽象一元二次方程的本质特征→用文字语言定义和用符号语言表示一元二次方程→反思其蕴含的思维与思想”；其必要条件是“会观察数或式特征”；其支持性条件包括观察数或式特征的经验，归纳思想，抽象思想，定义的经验，反思的经验；其认知价值为观察所列方程特征的过程能发展学生多角度观察事物特征的意识与能力，定义一元二次方程的思维策略与思维过程及其蕴含的归纳思想、抽象思想、符号表示思想等对后继学习有指导作用。

图2 “一元二次方程”涉及数学结果的逻辑关系

图3 定义一元二次方程的步骤和认知条件

3.由于用一元二次方程有关概念求解有关问题的思维方式是演绎，所以求二次项系数、一次项系数和常数项的认知过程是“将给定的一元二次方程化为一般形式→根据二次项系数、一次项系数和常数项概念求二次项系数、一次项系数和常数项”；求给定方程字母系数值的认知过程是“将方程的解代入方程→解关于字母系数的方程（组）”；求解有关问题的必要条件是“二次项系数、一次项系数、常数项、方程解的概念”；其支持性条件是“化归思想、演绎思想”；其认知价值为求解过程能巩固有关概念和发展运算能力。

（四）概括并陈述涉及的学习结果

学习结果是教学目标的基本成分，也是选择教学内容的依据。学习结果有多种分类方法，《课标》把全部学习结果分为“结果性”成果和“过程性”成果两个维度。[5]“结果性”成果包括四种类型的知识（事实性知识、概念性知识、程序性知识、元认知知识）和四个层级的智慧技能（知识技能、理解概念、运用规则、解决问题）。“过程性”成果包括数学思考、问题解决、情感态度——在数学结果形成与应用过程中的数学抽象、数学推理、数学应用等；从数学角度发现和提出问题及分析和解决问题等；在反思学习过程和数学结果中，体会认知过程和其蕴含的数学思想，体验解决问题方法的多样性，体会数学的特点和了解数学的价值等；在数学活动的过程中，积极参与数学活动，有“认真勤奋、独立思考、合作交流、反思质疑”的良好学习习惯等。概括涉及的学习结果就是按《课标》倡导的学习结果分类理论，从涉及数学结果的逻辑结构和获得数学结果的认知结构中整理出涉及的学习结果。

根据生成学习结果的方法，“一元二次方程”的“结果性”成果有：事实性知识——一元二次方程和一元二次方程一般形式的名称；概念性知识——一元二次方程的有关概念；程序性知识——列方程的步骤和获得一元二次方程概念的步骤；元认知知识——具体到抽象和特殊到一般的思维策略，列方程中的抽象思想和模型化思想，定义一元二次方程中的归纳思想、抽象思想、符号表示思想等，求解有关问题中的化归思想、演绎思想等，获得数学结果（或解决问题）之后的反思意识。知识技能——会用符号表示一元二次方程，能在具体情境中识别一元二次方程，会辨别一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项；理解概念——能说出一元二次方程与相近概念之间的关系；运用规则——能借助已有的经验定义一元二次方程，会用方程解的概念求方程中的待定系数，会求给定一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项；解决问题——能在观察基础上归纳并抽象一元二次方程的本质特征，能概括出获得一元二次方程概念的步骤，能在求解具体问题的基础上归纳出求解有关问题的策略、方法与技巧。其“过程性”成果有：发现一元二次方程特征和陈述一元二次方程与相近概念关系中的个性化想法；参与定义一元二次方程和求解有关问题活动中的个性化表现；反思过程中的个性化体验和对学习一元二次方程意义的感触等。

（五）调查并估计学生的认知基础与认知障碍

调查并估计学生的认知基础与认知障碍就是在充分了解学生的生理特点、心理特征、学习方式、知识储备等方面的优势与不足的基础上，估计学生是否具有获得数学结果所需要的必要条件和学生在获得数学结果的过程中可能会遇到的困难。

调查并估计可得，学生学习“一元二次方程”的认知基础与认知障碍是：尽管学生有根据生活问题中的条件列代数式或列方程的经历与经验，但根据生活问题中的条件列出一元二次方程，部分学生可能有困难，估计大部分学生对一元二次方程是刻画实现世界数量关系的有效模型达不到感悟的程度；尽管学生有定义研究对象的经历与经验，但估计大多数学生没有多角度观察事物特征的意识，部分学生可能说不出获得一元二次方程概念的思维过程，估计大部分学生对具体到抽象的思维策略及其蕴含的归纳思想、抽象思想等达不到感悟的程度；尽管学生有方程变形的经历与经验，但该课中有些方程的变形过程比较复杂，部分学生可能会感到困难。

（六）查阅并分析《课标》要求和教材意图

查阅并分析《课标》要求和教材意图就是在查阅《课标》学段目标和阅读教材基础上，分析《课标》对该课的教学要求（特别是解读涉及目标使用的行为动词和性能动词的含义）及教材蕴含的教学思想，以明确教学的基本定位。

《课标》对“一元二次方程”的教学要求是“能根据具体问题中的数量关系列出方程，体会方程是刻画现实世界数量关系的有效模型，了解一元二次方程的一般形式，会求二次项系数、一次项系数、常数项”[6]。章节目标中“一元二次方程”的教学目标是“理解并体验一元二次方程概念，了解并体验一元二次方程的一般形式，掌握并体验一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项的概念”[7]。由此可知，该课教学的侧重点是“过程”，以揭示方程的数学本质，体会一元二次方程也是刻画现实世界数量关系的有效模型，明确一元二次方程与相近概念之间的关系及发展学生多角度观察事物特征的意识等。

二、“选择性”决策方法

（一）确定教学目标

确定教学目标的步骤是：先根据《课标》倡导的学习结果分类理论，从涉及数学结果的逻辑结构和获得数学结果的认知结构中厘清涉及的学习结果；再用《课标》、教材和学生“三把筛子”对整理出来的学习结果进行过滤；然后确定能满足学生发展需求的教学目标。

根据生成教学目标的方法，“一元二次方程”教学目标可以是：经历列方程的过程，能根据具体问题的条件列出方程，能感悟列方程的思维过程和一元二次方程有丰富的情景；参与定义一元二次方程的活动，能多角度观察所列方程的特征，能说出一元二次方程的本质特征，能说出获得一元二次方程概念的基本步骤及一元二次方程与相近概念的关系，对发现所列方程的特征有个性化表现，对其蕴含的归纳思想、抽象思想、符号表示思想等有个性化体验；参与尝试知识应用的活动，会用方程解的概念求方程中的待定系数，会求二次项系数、一次项系数和常数项。

（二）选择教学内容

教学内容不仅包括教学目标涉及的数学结果及获得数学结果的过程和蕴含的数学思想方法，还包括涉及数学结果的“生长点”和“延伸点”——若学生缺乏认知所需要的必要条件，则要把学生应知而未知的有关知识与经验列入教学内容；若给定的教学内容不能满足学生发展的需求，则要适度补充一些引申与拓展的内容。

依据选择教学内容的原则，“一元二次方程”教学内容可以是：根据问题的条件列方程及所蕴含的生活常识、列方程的经验、抽象思想、模型化思想等；一元二次方程概念及获得一元二次方程概念的步骤，多角度观察的经验、归纳思想、抽象思想、符号表示思想等，一元二次方程与相近概念之间的关系；一元二次方程的一般形式及其有关概念，用一元二次方程有关概念求解有关的问题，解题的过程和所蕴含的解题策略、方法和技巧等。

（三）构思教学方法

1.构思教学理念。构思教学理念就是思考教学的指导思想，引导的策略、方法与技巧，教学的手段等。“一元二次方程”的教学理念可以是：以过程教育和以学为中心作为教学的指导思想；以关注“两段”的认知过程观作为教学的基本策略；以有导学味的问题引导、有启发性的语言点拨、必要的讲解与归纳等作为教学的指导方法；以行为过程中的“四练”——产生对象中练、定义对象中练、尝试应用中练、课堂小结中练作为教学的主要手段。

2.构思教学重、难点。构思教学重、难点就是根据教学重、难点的含义及上述分析结果，确定教学的重点与难点。“一元二次方程”的教学重点是一元二次方程概念，包括它的一般形式，但其侧重点是“过程”，而不是“对象”。因为《课标》对一元二次方程的概念没有提出具体的教学要求，而列一元二次方程的过程能反映方程的数学本质，概念的形成过程有能力发展点、个性和创新精神培养点。该课教学难点是将较复杂的一元二次方程化为一般形式。因为在较复杂方程变形过程中要综合运用代数运算法则和等式的基本性质。

3.构思教学结构。构思教学结构就是思考如何将分析出的数学结果的逻辑结构和所蕴含的数学思想方法结构转化为易于学生接受的教学顺序结构。“一元二次方程”的教学结构可用图4表示。

4.构思活动方式。《课标》根据数学学科的特点将数学活动概括成有层次的三种形式：（1）“经历……过程”。其活动的内容是借助已有的知识与经验从数学角度认识与研究对象有关的“生活题材”或“数学题材”；其活动的形式主要是有指导地“视”“听”“读”“做”等；其活动的目的是从“生活题材”或“数学题材”中抽象出研究对象，并获得对象的一些感性认识。（2）“参与……活动”。其活动的内容是借助已有的知识与经验认识或验证对象的特征，解决简单的问题；其活动的形式是主动地“视”“做”“思”等；其活动的目的是初步认识对象的特征及认识对象特征和解决简单问题的一些经验。（3）“探索……关系”。其活动的内容是运用推理方法研究对象的特征、性质、规律、方法、问题、结论等；其活动的形式主要是独立或与他人合作进行“视”“做”“思”“议”等；其活动的目的是，理解或提出问题，寻求解决问题的思路，发现对象的特征及其与相关对象的区别和联系，获得一定的理性认识。构思活动方式就是依据《课标》倡导的数学活动观、涉及数学结果的特征和学生已有的知识与经验等选择合适的活动方式。

图4 “一元二次方程”数学结构框图

依据《课标》倡导的数学活动观及“一元二次方程”的内容特征和学生已有的知识与经验，其活动方式可以是：产生一元二次方程的教学，可选择经历性数学活动，因为学生有列方程的经历与经验，通过教师适度指导，学生能根据问题的条件列出方程；定义一元二次方程的教学，可选择参与性数学活动，因为学生有定义一元一次方程等的经历与经验，学生通过主动思维，能发现所列方程的特征；概念应用的教学，可选择参与性数学活动，因为学生有数或式变形与运算的经历与经验，学生通过主动思考与实践能解决问题；反思研究过程和所蕴含的数学思想方法及学习一元二次方程意义等的教学，可选择探索性数学活动，因为通过交流合作，能使认识更全面、体验更深刻。

5.构思教学方法。构思教学方法就是思考“用什么题材教”和“用什么方法教”。[8]一般地，教学载体要有助于实现教学目标、要符合“最近发展区”理论要求、要符合学生的认知规律、生活问题的情境要具有教育意义；数学活动不但有具体的操作性活动，也有理性的思维活动，同时有对认知过程进行反思的活动；教学方法不仅包括准确、清晰、富有启发性的讲解，也包括有助于学生经历实质性思维过程的价值引导[9]——问题暗示、设置认知提示语、积极的认知干预、必要的反思与追问、适时的评价与激励等。

依据这些观点，“一元二次方程”的教学方法可以是：第一，首先教师在回顾基础上提出问题以暗示研究的必要性，再提供若干有代表性的实际问题，然后采用学生独立列方程和列方程之后交互反馈与评价基础上反思的方法；第二，以所列方程为载体，引导学生参与“观察→归纳→抽象→定义→表示”的活动和获得概念之后的反思性活动；第三，以有代表性的具体问题为载体，引导学生参与独立解答问题和解答之后的交互反馈与评价及回答教师追问的活动；第四，以“问题清单”为载体，引导学生参与自主回顾与思考基础上的合作交流的活动，并在此基础上让学生欣赏一元二次方程的自述。

三、随感随想

尽管探索中形成的“精致化”分析与“选择性”决策的方法，对消除当前普遍存在的“只教不研”的现象有积极的影响，对解决过程教育不到位的问题也有积极作用，但高质量的教学分析与决策仍需要教师具有一定的教学分析与决策的“实践性智慧”。例如：厘清涉及的数学结果，需要教师具有分解章节核心概念的能力；论证认知过程和认知条件，需要教师知道学习任务分析理论；概括涉及的学习结果，需要教师明确学习结果的类型及其含义；估计学生的认知基础与认知障碍，需要教师具有调查学生现实的方法；确定教学目标，需要教师具有用《课标》、教材和学生“三把筛子”对整理出的学习结果进行过滤的能力；选择教学内容，需要教师明确全面、辩证的课程内容观和涉及数学结果的“生长点”和“延伸点”等；构思教学理念，需要教师知道《课标》倡导的有关理念；构思教学重、难点，需要教师明确教学重、难点的含义；构思教学结构，需要教师知道数学的发展规律、学生学习数学的认知规律和教育的规律；构思活动方式，需要教师会根据《课标》倡导的数学活动观选择活动方式；构思教学方法，需要教师明确课程内容、教材内容和教学内容之间的区别和知道选择教学载体的原则及有效指导的一些艺术。若教师能运用“边学习、边实践、边研究”的行为方式，则定能剖解如何确定体现过程教育理念的“教什么”和“怎样教”的难题。▲

参考文献：

[1][2][3][5][8][9]史宁中.义务教育课程标准（2011年版）教师学习指导 初中数学[M].北京：北京科海电子出版社，2011：1-5.

[4]皮连生.教学设计（第二版）[M].北京：高等教育出版社，2009.

[6]中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2011年版）[S].北京：北京师范大学出版社，2012：3.

[7]金才华.义务教育教科书 数学教学参考书（八年级下册）[M].杭州：浙江教育出版社，2013.