探寻运算定律背后的意蕴——以“乘法分配律”一课教学为例

浙江绍兴市柯桥区马鞍镇中心小学滨海校区（312073）陈泰昌



探寻运算定律背后的意蕴
——以“乘法分配律”一课教学为例

浙江绍兴市柯桥区马鞍镇中心小学滨海校区（312073）陈泰昌

［摘要］对于运算定律的教学，其中的乘法分配律是学生最难理解和掌握的，因为学生常常将乘法分配律与乘法结合律混为一谈，导致错误百出。分析发现，主要有两个方面的原因：一是对运算定律的结构特征认识模糊；二是对运算定律的数据特征缺乏关注。因此，教师在教学中要积极探寻运算定律背后的意蕴，引导学生准确把握乘法分配律的本质内涵。

［关键词］运算定律乘法分配律结构特征数据特征意蕴乘法结合律本质内涵

四年级下册第三单元是运算定律的教学，在这一单元中重点学习加法的交换律、结合律和乘法的交换律、结合律、分配律这五条运算定律。在小学阶段，这五条运算定律不仅适用于整数的加法和乘法，而且适用于小数、分数的加法和乘法，所以在整个小学阶段占有重要的地位和作用。当然，随着数的范围的进一步扩展，这几条运算定律在有理数、实数甚至复数中仍然成立。所以，它们被誉为“数学大厦的基石”，对数学教学有着重要的意义和作用。

错题罗列

这么重要的运算定律，学生掌握与运用起来却不是那么容易的事，尤其是乘法分配律。教学实践中，我们发现学生在学习乘法分配律后，脑子就乱成一锅粥，如遇“括号”就“分配”、遇“分配”就“相加”等，已经分不清什么是乘法交换律、什么是乘法结合律了。学生的错题犹如“忽如一夜春风来，千树万树梨花开”，让我们饱受煎熬。下面，让我们来看看学生千奇百怪的错题。

透过学生的错题，我们不难发现，学生错题的最大特点就是将乘法分配律与乘法结合律混为一谈。当然，相对于其他几条运算定律，乘法分配律较乘法交换律和乘法结合律的组成要素多，展开算式的步骤要多，还出现加法和乘法两三步混合运算。这种分分合合、合合分分的变式，学生最容易混淆运算定律。

教学尝试

为什么学生应用运算定律进行计算会感到如此困难？究其原因，主要有以下两个方面：一是对运算定律的结构特征认识模糊；二是对运算定律的数据特征缺乏关注。那么，如何在教学中让学生对运算定律有清晰的整理和有条理的厘清呢？笔者经过一段时间的思考后，对“乘法分配律”一课的教学进行如下设计。

一、铺设情境，发现规律的结构特征

1.出示情境

（1）学校购买春装校服，每件上衣30元，每条裤子25元，买这样的40套衣服一共要多少元？（只列式不计算）

方法①：（30+25）×40方法②：30×40+25×40

（组织学生交流，分别说说这两种方法的解题思路）

（2）在一长方形花圃里栽郁金香和菊花（如下图），这个花圃占地多少平方米？（只列式不计算）

方法①：（45+26）×15方法②：45×15+26×15

（组织学生交流，分别说说这两种方法的解题思路）

2.引导联想

师：像这样可以用两种方法解决的实际问题还有很多，你能举一些例子吗？

（出示例题，只列式不计算）

……

【设计意图：课伊始，无论是情境创设中的例题，还是师生列举的问题，都要求学生只列式不计算，目的是让学生在列式过程中体会两种计算方法：一种方法是“先求和，再相乘”；另一种方法是“先分别乘，再求和”。但无论是“先求和，再相乘”的方法，还是“先分别乘，再求和”的方法，都是这种类型应用题的结构特征，而且在数据的安排上也没有特意出现凑整。】

3.引导观察

（1）解决相等关系。

师：观察左右两边的算式，你觉得它们都相等吗？分别选一题的两道算式算出得数，看看这两道算式的得数是否相等。

（2）用符号分别表示出两种算式的结构特点，如（□+□）×□，□×□+□×□。

（3）你能举这样两个相等的算式吗？试试看。

讨论：这里，具有两种结构的算式具有怎样的大小关系？

生：相等。

（师用“=”连接）

（4）师列举错误的例子，如（102+200）×35=102×35+ 35等。

学生讨论比较后得出：仅仅具有这样的结构特征还不能说明两个算式相等，还必须要关注数据是否也符合一定的特征。

……

【设计意图：解决相等的问题，由结构形似引出结构特征，更多的是结合学生已有的经验，引导学生从具体数据的讨论上升到规律的发现与归纳，最终构建相应的数学模型。】

二、深入探究，发现规律的数据特征

1.研究数据中存在的规律

（1）提问：相等的算式中，数据应该具备怎样的特征呢？

提示：等号左边是三个数，等号右边却变成四个数了，怎么变的？

（2）提问：是不是只要具备这样的结构特征，又具备这样的数据特征，两个算式就一定相等呢？（生举例略）

（3）讨论交流。

学生得出：如果具备这样的结构特征，又具备这样的数据特征，那么两个算式就一定会相等。

2.研究规律的合理性

师：这样的现象是巧合，还是客观存在的事实？你能用学到的知识去解释这样的现象吗？

（引导学生用乘法的意义去解释现象存在的科学性，并举例说明）

3.抽象概括乘法分配律

师：看来，这是一个普遍存在的规律，你能用一个式子表示出这一规律吗？

（让学生表示这一规律并说说所表示的规律是否具有结构特征，同时也具备数据特征）

师：这样说太麻烦了，可以用什么来表示出字母形式？

4.揭题

师：这就是我们这节课研究的一个新的定律，叫做乘法分配律。请你用自己的话说说对乘法分配律的理解。

……

【设计意图：探究数据中存在的规律，让学生从原理上理解不同算法间存在的意义。在乘法分配律的学习中，无论是从（a+b）×c到a×c+b×c的分解式思考，还是从a×c+b×c到（a+b）×c的合并式思考，都可以结合乘法的意义来理解，让学生“不仅知其然，而且知其所以然”。】

三、巩固应用，拓展规律

（1）根据乘法分配律，请你说说和下列算式相等的算式。

（42+35）×2 72×（30+6）18×52+48×18

（2）横着看，在得数相同的两个算式后面画“√”。

（28+16）×7 = 28×7+16×7………………（）

56×（19+28）=56×19+28…………………（）

（3）看一看、比一比，每组算式中哪一题的计算比较简单。为什么这样选，你从中有什么启发？

①64×8+36×8②（25+250）×4

（64+36）×825×4+250×4

③99×76+76④125×（80+2）

（99+1）×76125×80+125×2

【设计意图：这些问题的设计，给学生的自主探究提供了机会，让他们联系已知，应用已学的方法去探索，培养了学生由此及彼的推理能力，让他们经历了知识的发生、发展过程。】

实践感悟

实践表明，这样设计教学，使学生对乘法分配律的认识清晰且深刻，能在后续的计算练习中驾轻就熟、应用自如。这一成功案例，引起笔者对运算律教学的诸多思考。

感悟1：结构模型优于数据特点

运算定律的学习，更多的是让学生对已有的知识和经验进行积累，使学生从具体数据的讨论上升到规律的发现与归纳，最终构建相应的数学模型。然而，我们许多教师在教学运算定律时，都喜欢把注意力聚焦在数据的特点上，从数据的特点入手，引导学生在特殊的数据中发现其特有的规律。如加法交换律、乘法交换律，学生首先发现的是数据没有变，只是数的位置发生了变化；又如加法结合律、乘法结合律也是数据不变，括号的位置发生了变化。对数据的片面关注，使得学生在一开始接触运算定律时就将目光放在了数据的特点上，而对算式的结构缺乏研究，导致学生对乘法结合律与乘法分配律混淆不清，因为学生只看到数据而没看到算式结构的特点。虽说数据特殊于运算定律非常重要，但结构特殊更是不容忽视。结构犹如房屋框架，框架没有搭建则房屋难以成形。对结构认识模糊，规律的认识不可能清晰，运算定律的模型就无法构建。

从注意力的角度看，结构相比数据较为隐蔽，不容易引起学生的重视。这就需要教师有意识地给予引导，并以此入手，引起学生足够的关注。如笔者在设计本课教学时就从结构入手，通过列式解决问题，引导学生发现每一个问题都有两种解题思路，这两种思路的算式表达都是“先求和，再相乘”或“先分别乘，再相加”，在此基础上引出算式结构的知识，将学生的注意力引向对算式结构的观察。继而，要求学生联系平时所学，解决相应的实际问题，帮助学生进一步巩固对乘法分配律的认识。

从结构入手，强化了学生的结构意识，使他们对乘法分配律的结构印象深刻。在学生清晰结构的基础上，笔者再设问：“是不是只要符合这样的结构特征，算式就一定相等呢？”……这里，笔者认为用乘法分配律进行描述，更能让算式结构深入学生脑海之中。

因此，从结构入手应该成为运算定律教学的一种思路，无论是首次接触的加法交换律、结合律，还是后来学习的乘法交换律、结合律，尽管结构单一，但还是有必要让学生先在结构上观察，再从数据上研究。

感悟2：运算意义是运算定律的依据

在运算定律的教学中，教师采用的都是不完全归纳法，即引导学生通过多个算式发现其中存在的共同规律，继而用字母表示出各个运算定律的表达式。用这样的方式进行教学本无可厚非，然而笔者总觉得缺少了些什么，那就是给找到的规律寻找可解释的依据。

运算定律是对数的运算过程中基本规律的归纳与总结，因此学生理解运算定律的内涵，离不开运算意义的支持。如理解加法交换律时，教师应引导学生始终把握“加法是把两个数合并成一个数的运算”这一本质内涵。而乘法交换律为乘数位置交换积不变，其理由也可以从乘法的表达方式去解释。如“6个15相加的和是多少”，用算式表示可以是6×15，也可以是15×6。加法结合律和乘法结合律同样可以从运算意义的角度去理解为变化运算顺序后结果相等，而乘法分配律“先求和，再相乘”与“分别乘，再相加”的结果相等，即无论是从（a+b）× c到a×c+b×c的分解式思考，还是从a×c+b×c到（a+b）×c的合并式思考，都可以结合乘法的意义来理解，都是求相同加数的和的简便运算。如45×15+26×15与（45+26）× 15，前者表示45个15与26个15的和是多少，后者表示45加26等于71，71个15的和是多少。所以，从运算意义上去理解运算定律，更有助于培养学生合理选择算法的能力，发展他们思维的灵活性。

所以，教师在教学中应结合具体的内容，引导学生体会数学的思维方式和严谨求实的科学态度，这既是数学教学的重要目标之一，又是提高学生数学素养的良好途径。同时，这也是帮助学生理解规律的重要举措，是对不完全归纳法的一种补充。

感悟3：把握运算定律与简便计算的联系和区别

运算定律是一种模型化知识，简便计算则是根据算式和数的特点，依据四则运算的性质，在不改变运算结果的前提下灵活处理运算程序，以达到简便易算的目的。这两者既有着紧密的联系，又有一定的区别。教学中，因为运算定律是运算本身固有的性质，也是后续代数知识学习的必备基础，因此不能简单地等同于简便计算教学，但运算定律的学习过程，也是为后续灵活计算积累相应的活动经验的过程。因此，教师在教学中可以将过程延长，使内容丰富些、形式多样些，并注意让学生探究、尝试、交流、质疑，在引导学生理解和掌握运算定律的同时，培养和发展学生思维的灵活性。

感悟4：后续教学注重变式分类

如前面提到，无论是运算定律还是简便计算，在后续学习中还要安排专门的课时进行训练。所以，在这一环节中需要对乘法分配律进行全面的变式练习，学生只有清晰地把握这些变式的类型，才能灵活应用乘法分配律解决问题。如延展乘法分配律项数的变式，将两数和与一个数相乘变为三四个数的和与一个数相乘，即（a+ b+c）×d=a×d+b×d+c×d；将两个数的和变为两个数差的变式，即（a－b）×c=a×c－b×c；将特殊数1参与展开的变化式，即（a+1）×b=a×b+b×1。

综上所述，对于运算定律的教学，尤其对于棘手的乘法分配律的教学，只有探寻定律背后的意蕴，学生才能真正掌握乘法分配律的本质内涵，在简便计算以及解决问题时才能“以不变应万变”。只有如此，“数学大厦基石”才会夯实，才会坚固！

（责编蓝天）

［中图分类号］G623.5

［文献标识码］A

［文章编号］1007-9068（2016）11-017