一个数学问题的等价形式及应用

安徽省寿县第一中学　　梁昌金　　(邮编：232200)



一个数学问题的等价形式及应用

安徽省寿县第一中学梁昌金(邮编：232200)

《数学教学》2014年第8期数学问题921为：

这是与塞瓦(Ceva)线相关的一个几何问题，形式简洁优美.笔者尝试着从问题的等价转化、问题的证明、问题的应用几个方面进行思考.

图1

1问题的等价形式

于是得到问题921的等价形式:

证明如图1所示，由三角形面积关系，易知

可谓是“秒杀”.

图2

3问题的应用

图3

由PH=xAH,得HD-PD=xAH,所以HD-x(AH+HD)=xAH,

问题4 (Safta猜想的推广)AD、BE、CF是ΔABC的三条任意塞瓦(Ceva)线，且交于点P.若AD、BE、CF分别与EF、DF、DE交于H、N、M点，λ1、λ2、λ3>0,则

说明Safta猜想于1981年由Safta提出，匡继昌在其著作《常用不等式》(1993年版)中将其列为100个未解决的问题之一.文献[1][2]给出了Safta猜想的证明方法，文献[3]对Safta猜想进行了推广.但证明方法都显得复杂，笔者给出了Safta猜想及其推广的统一简证.

图4

从而原命题得证.

说明这是文献[4]给出的一个命题，证明过程仍然显得复杂.用上述方法使得命题得以简证.

《数学教学》“数学问题与解答”栏目刊出的数学问题都是精心挑选出来的，是教师交流的一个平台，笔者认为当我们完成一个数学问题的解答后，要想一想这个问题是否与其他问题有联系？有没有更简捷的方法？解决问题的方法能否进行深度挖掘？等等.通过研究、反思，达到问题创新、思维创新和方法创新.

参考文献

1苗相军.Safta猜想的证明[J].数学通讯，1994(8)

2赖百奇.Safta猜想的又一个证明[J].福建中学数学，2004(9)

3戴汉有.Safta猜想的推广和证明[J].中等数学，2000(2)4杜少平.关于Ceva线的一个几何不等式[J].中学数学教学，2000(2)

(收稿日期：2016-01-04)