简解两道高考全国卷I理科小题

北京丰台二中　　甘志国　　(邮编：100071)



简解两道高考全国卷I理科小题

北京丰台二中甘志国(邮编：100071)

高考题1(2015年高考全国卷I理科第12题)设函数f(x)=ex(2x-1)-ax+a，其中a<1，若存在唯一的整数x0使得f(x0)<0，则a的取值范围是()

图1

直线y=ax-a过点(1，0)．

若a≤0，则f(x)<0的整数解有无穷多个，因此只能a>0.

解法2(分离常数法)令x=t+1后，即关于t的不等式(2t+1)et+10,由a<1，可得

(2t+1)et+1>(2t+1)e>t>at，

图2

高考题2(2013年高考新课标全国卷I理科第16题)若函数f(x)=(1-x2)(x2+ax+b)的图象关于直线x=-2对称，则f(x)的最大值为______．

解法1因为f′(x)=-4x3-3ax2+2(1-b)x+a，多项式函数f(x)在R上可导，且关于直线x=-2对称，所以f′(-2)=0，可得11a-4b=28.又由f(0)=f(-4)，得15a-4b=60.

可解得a=8，b=15，所以

f(x)=(1-x2)(x2+8x+15)，f′(x)=-4(x3+6x2+7x-2)，

解法2由f(-x)=f(x-4)恒成立，得(1+x)(1-x)(x2-ax+b)=(x-3)(5-x)[(x-4)2+a(x-4)+b],所以x-3,5-x均是x2-ax+b的因式，得x2-ax+b=(x-3)(x-5),所以a=8,b=15.还可检验a=8,b=15满足题设，所以f(x)=(1-x2)(x2+8x+15)=-x4-8x3-14x2+8x+15,f′(x)=-4(x+2)(x2+4x-1).

解法3由f(-x)=f(x-4)恒成立，得f(-3)=f(-1)=0,f(-5)=f(1)=0,所以f(x)=(1-x2)(x+3)(x+5)=-(x-1)(x+5)(x+1)(x+3)=-(x2+4x-5)(x2+4x+3)=-(x2+4x-5)(x2+4x+3)=-[(x2+4x-1)-4][(x2+4x-1)+4]=16-(x2+4x-1)2，

笔者了解到的信息是，2016年高考数学只有10套卷：全国卷I，全国卷II，全国卷III，北京卷，上海卷，天津卷，江苏卷，浙江卷，山东卷，四川卷.这就意味着2016年高考数学很多省份将结束自主命题，使用全国卷.这对多年适应自主命题的高三教师是一种挑战.

从以上两道高考题来看，全国卷既考常规(基础知识、基本技能与通性通法等)也考能力(包括数学核心素养、思想方法、解题技巧、与高等数学的衔接和解题技巧等等).

(收稿日期：2016-02-11)