一道圆锥曲线联考题的思考及变式探究

江苏省海门中学　　朱建军　　(邮编：226100)



一道圆锥曲线联考题的思考及变式探究

江苏省海门中学朱建军(邮编：226100)

摘要对在高考数学一轮复习圆锥曲线测试题中，遇到的易混淆问题进行了研究，并进行了深入的拓展变式的探究，以便学生更深入地理解圆锥曲线的本质.

关键词圆锥曲线;变式探究

答案为2的同学的解法A：

因为O是FE的中点，M是PF的中点，MO是ΔPFE的中位线，

由双曲线的定义得PF-PE =2，故

MF-OM=1

①

所以FT=MF-MT=3.

②

②-①得OM-MT=2.

其它同上，就是②式变为

FT=MF+MT=3

③

令 OM-MT=S

④

③-①得 MT+OM=2

⑤

④×⑤得 OM2-MT2=2S,

又OM2-MT2=OT2=1，

究竟孰对孰错，双方争执不下，下面用解法C解：

据此我们得出一个结论：

思考3解法A和解法B的不同之处在于切点T和中点M的位置，那么a、b满足什么条件时弦FP的中点M在切点T的左侧、重合、右侧？

先考虑重合：FM=FT=b，FM-OM=a，

故OM=b-a，又OM=a,

所以b=2a时切点T和中点M重合.

中点M在切点T的左侧：FM-OM=a，FT-MT=FM.

又FT=b,OM=a，

故b-MT-a=a，b=2a+MT>2a.

中点M在切点T的右侧：FM-OM=a，FT+MT=FM，

又FT=b,OM=a，

故b+MT-a=a，b=2a-MT<2a.

上述结论可仿照解法A、解法B证明.

新课程理念强调创新意识与核心素养，圆锥曲线是高考的重点考查内容之一，在日常的教学过程中，我们惟有探清出题的本质，才能以不变应万变，并逐步提升学生的综合解题能力，从而形成独特的数学素养.

(收稿日期：2016-01-31)