一道绝对值不等式试题的解法剖析及背景探究

2016-05-20浙江省宁波市第四中学蒋亚军魏定波邮编315000

中学数学教学 2016年2期

关键词：剖析实数最值

浙江省宁波市第四中学　　蒋亚军　魏定波　　(邮编：315000)

浙江省宁波市第四中学蒋亚军魏定波 (邮编：315000)

摘要以一道典型的二次函数绝对值问题为例，分别给出了分类讨论法、绝对值性质法、数形结合法进行解析，并对该题的背景进行探究.

关键词最大(小)值；函数逼近

1问题提出

(Ⅰ)当a=0，b=1时，写出函数f(x)的单调区间；

(Ⅲ)若对任意实数a、b，总存在实数x0∈[0，4]使得不等式f(x0)≥m成立，求实数m的取值范围.

这是浙江省新课改实施以来，在必修内容不考查导数后，以初等函数为载体，通过数形结合、分类讨论等数学思想来解决最值、单调性、不等式恒成立问题.试题新颖独特，有着深刻的高等数学背景，在广大教师中引起强烈反响，且这类试题在各类考试中经久不衰.本文将全方位对这个问题(Ⅲ)进行剖析.

2解法剖析

图1

G(b)=max{g(0),g(2)}=max{|b|,|b+4a-2|}，

作出h1(b)=|b|，h2(b)=|b+4a-2|的图象，得到

y=max{h1(x),h2(x)}的图象，如图1所示，可得

仿上可得：

点评这个试题对学生来说，有诸多关卡，首先是对题意理解的困惑，学生对于单独一个量词的问题较为熟悉，但是本题中同时出现“任意”，“存在”两个量词，且同一个问题中出现变量x、a、b，这样给学生的审题带来了不少困难.其次是问题的等价转化，如“总存在实数x0∈[0，4]使得不等式f(x0)≥m成立”，等价于“x∈[0，4]，f(x)max≥m”，最后归结为“对任意实数a、b，求f(x)max的最小值”.最后是解题策略，从形式上看是一个二次函数的最值问题的讨论，由于涉及参数有a、b，学生在分类讨论上会引起混乱，相关函数值的比较无从下手.在解题策略上采用“步步为营，逐个解决”，在解决过程中，需要结合图形整体考虑函数的最值，对三个变量x、a、b逐个击破.

于是有3M+4M+M≥3|b|+4|a+b-1|+|4a+b-2|，

由②、③得

而在《康斯坦丁·科罗温像》（图5）中，谢洛夫将这位画家豪放纵情、喜怒随性、率真直爽的气质表现得淋漓尽致。在简率粗略的笔法下，模特的画家身份显而易见，这不仅可以由墙上的习作和桌上的颜料等细节探知，更在于人物本身所传递的信息：科罗温姿势放松，显然已经熟悉了肖像写生的状态；目光敏锐，似乎时刻在捕捉着美。粗鄙的墙面、蓝色的衣物以及红白条纹的垫靠物，画面上的每一个物件都传达出艺术家对生命的热爱和浓郁的创作氛围。

点评上述解法，先考虑问题的必要条件，再验证充分性也成立.运用了绝对值不等式的性质，整个解题过程简捷，避免了繁琐的讨论.但在实际答题情况调查中，我们发现这个解法，多是出现在老师交流中，这可能与绝对值不等式的性质教学有关，除了参加过竞赛活动的学生外，学生对上述解答存在一些疑惑，如x的特值为什么要这样取.为了使学生能适应此类问题的解决，在加强不等式教学的基础上，需要经过必要的训练.

解法3(反面探求法)考虑问题的反面，命题“若对于任意实数a、b，总存在实数x∈[0,4]，使不等式f(x)≥m成立.”的否定形式为 “若存在实数a、b，对任意实数x∈[0,4]，使不等式f(x)