基于有效独立-总位移法的水工结构振测传感器优化布置

张建伟， 刘轩然， 赵　瑜， 毋　淦， 刘晓亮(华北水利水电大学 水利学院，郑州　450000)



基于有效独立-总位移法的水工结构振测传感器优化布置

张建伟， 刘轩然， 赵瑜， 毋淦， 刘晓亮(华北水利水电大学 水利学院，郑州450000)

摘要：为了更好地解决大型水工结构振测传感器优化布置问题，以拉西瓦拱坝为研究对象，针对有效独立法所选测点能量较小的不足，提出基于有效独立-总位移法的传感器优化布置方法。运用模态保证准则、最大奇异值比、Fisher信息矩阵值和总位移幅值等评价方法对有效独立法、有效独立-总位移法和距离系数-有效独立法三种方法进行评价。研究表明，有效独立-总位移法可以使所测得的模态之间正交性、可观性更好，提高剩余测点的应变能，是一种有效实用的传感器优化布置方法。

关键词：大型水工结构；拱坝；传感器优化布置；有效独立-总位移法；模态保证准则

大型工程结构的设计使用年限达七八十年，有的甚至上百年，由于荷载的疲劳效应、材料老化等因素，结构损伤不可避免的成为了一个研究热点。通过动态测试来获取结构的动力特性，从而判断结构的损伤位置、损伤程度的无损检测技术是结构损伤识别的一个重要方法。由于经济和技术的限制，技术人员不可能在高拱坝所有自由度上布置传感器，因此，如何用有限的传感器来获取更全面准确的信息就显得十分重要[1]。

目前在工程结构振测的传感器优化布置方面已有不少学者进行了研究，优化布置的方法分为传统方法和非传统算法，其中，有效独立法(Effective Independence method，EI法)和能量法都属于传统的传感器优化布置方法，非传统算法主要包括遗传算法，模拟退火算法等。在传统算法中，有效独立法[2]是目前应用最为广泛的传感器布置方法之一，其基本思想是保留对模态向量线性无关贡献最大的测点，用有限的传感器得到尽可能多的模态信息，从而获得对模态的最佳估计。有效独立法在实际工程中应用广泛，何龙军等[3]提出了基于距离系数修正矩阵的距离系数-有效独立法，该方法有效避免了测点间的信息冗余问题；李东升等[4]等比较了较常用的传感器布置方法，揭示了各种方法间的内在联系，利用一梯形结构考察了不同传感器布置方法结果的异同；杨雅勋等[5]利用能量系数改进有效独立法，选择能量较大的测点布置传感器，避免了信息丢失的问题；刘伟等[6]提出的有效独立-模态动能法，其核心思想是在考虑截断模态线性独立的同时选择具有较高模态动能的测点位置，有较强的抗噪声性能。在非传统优化算法方面，黄维平等[7]通过遗传算法，解决了香港青马大桥的健康监测问题； Kirkpatrick等[8]依据模拟退火模仿物质体系的冷却固化过程，考虑到大规模组合优化问题的求解与物质体系的退火过程有很多相似性，将其应用到传感器优化布置问题上，取得了一定的进展。

有效独立法致力于获得对模态空间估计独立性最好的测点，通过计算测点之间的协方差矩阵，找到相互之间独立性最好的传感器布置位置。但是传感器不一定分布在能量较大测点，可能丢失结构重要信息。本文针对有效独立法这一局限性，从测点能量的角度出发，把测点的总位移以权重的方式加入传感器优化布置过程中，同时保留有效独立法的优点，提出有效独立-总位移法(Effective Independence-Total Displacement method，EI-TD法)，并与传统有效独立法，距离系数-有效独立法相比较。本文以高拱坝为例，分别用这三种方法进行传感器优化布置，并运用模态置信准则，Fisher信息矩阵值，最大奇异值比以及总位移等评价准则评价各传感器布置方法的优劣。

1传感器优化布置方法

1.1有效独立法

有效独立法是由Kammer[9]最早提出的一种方法，也是应用最广泛的传感器优化布置方法之一。它的核心思想是从所有可能的测点出发，依次消除对使Fisher信息矩阵行列式变化最小的自由度，保留对目标模态线性无关贡献最大的点，最终得到对模态空间估计最佳的传感器优化布置方案。

设结构的动力响应方程为

(1)

式中：U为传感器的输出响应；Φ为测得的n×m阶模态矩阵；n为自由度数；m为模态阶数；q为目标模态坐标向量；φi为第i阶模态振型向量。

由式(1)得q的最小二乘估计表达式为

(2)

考虑结构响应中的噪声S，式(1)可化为

(3)

则可得到q的协方差矩阵为

(4)

(5)

式中：Q称为Fisher信息矩阵，当Q最大值时，协方差矩阵最小，也就可以得到q的最小二乘估计。而A取最大值时，Q也取得最大值，因此，可以用A来反映Q。矩阵A的特征方程为：

(A-λI)ψ=0

(6)

式中：λ和ψ为矩阵A的特征值和特征向量，则有

ψTAψ=λ

(7)

ψTλ-1ψ=A-1

(8)

构建矩阵E，令E=Φiψλ-1(Φiψ)T，则

(9)

式中：E为幂等矩阵，其对角线上第i个元素Eii表示第i个自由度对模态矩阵线性无关的贡献。

1.2距离系数-有效独立法

距离系数-有效独立法是由何龙军等于2013年在有效独立法基础上提出测点优化算法，该方法引入欧式距离来评价两个测点或自由度的信息独立性，即：

(10)

式中:dkl表示k测点与l测点的信息矩阵的空间差异，所需识别的模态振型数目为m。假定在一组候选测点中的最大欧式距离为dmax，标准化的欧式距离Dkl可表示为:

(11)

对于布置方案中的任意两个测点，均满足:

0≤Dkl≤1,∀k,l

(12)

对于任一测点k，其对Fisher信息矩阵的距离系数定义为:

Rk=min(Dks), ∀s

(13)

式中:s为总的传感器测点数。将距离系数Rk引入式(5)中，可得修正后的Fisher信息矩阵:

(14)

1.3有效独立-总位移法

有效独立-总位移法(EI-TD法)是在有效独立法的基础上，在选择测点时考虑测点总位移的传感器优化布置方法。

通过有效独立法的推导过程可以发现，有效独立法只考虑了剩余测点对目标模态独立性的贡献，可能会造成选取的测点能量较低，丢失重要信息的结果。而大型结构中，出现损伤破坏的点，偏离其原有位置的位移一般都比较大。为了弥补这一不足，本文提出EI-TD法，考虑每个测点的总位移。测点的总位移大，其相应的应变能也就比较大，用EI-TD法选取的测点综合了二者的优点，使优化测点的总位移较大，保留了响应较大的测点，同时保持了剩余测点之间较好的独立性。

EI-TD法进行传感器优化布置的步骤为：

步骤1建立结构有限元模型，进行模态分析，提取结构的模态矩阵Φ。

步骤2求出每个自由度在各阶模态的总位移Di以及所有自由度的总位移和D。并计算出每个Di所占的百分比ηi：

(15)

步骤3由所选模态向量求有效独立信息矩阵。

(16)

式中，E为有效独立信息矩阵对角线元素之和，i为自由度数目。计算Eii所占的百分比δi：

(17)

步骤4记θi=ηi+δi，删除最小的θi所对应的自由度。

步骤5将剩余的传感器组成新的模态矩阵，重复步骤2～4直至得到预定的传感器数目。

注意：结构每个自由度的总位移在循环操作时不会发生改变。

2算例分析及效果评价

以拉西瓦拱坝为研究对象，应用有效独立法、有效

独立-总位移法及距离系数-有效独立法三种方法对坝体下游面振测传感器进行优化布置，以达到利用较少传感器准确识别拱坝各目标模态参数的目的。该坝体结构形式为双曲拱坝，坝体建基面高程为2 210.0 m，坝顶高程2 460.0m。拱冠处最大底宽49.0 m。拱坝的有限元模型如图1所示，坝体采用三维块体单元SOLID45单元，上游水体以附加质量的方法进行模拟[10]，采用mass21质量单元，模型共计52 400个节点，46 240个单元，坝体下游面2 628个节点。混凝土材料密度取2 400 kg/m3，弹性模量取33 GPa，泊松比取0.167，地基为无质量弹性地基，弹性模量取22 GPa，泊松比取0.250，模态分析时取动弹模为静弹模的1.2倍。

图1　拱坝的有限元模型Fig.1 Finite element model of arch dam

2.1模态分析

用ANSYS对拱坝结构进行湿模态分析，选取前五阶振型，如图2所示。

图2　拱坝的前五阶振型Fig.2 The first five order modes of arch dam

大型水工建筑物的低阶模态具有较大的振型参与系数，通常能够描述结构系统的动态特性[3]，选取高阶模态的意义不大，因此，选择该高拱坝的前五阶模态作为目标模态。由于拱坝顺河向振动较为强烈，本文将重点研究坝体下游面顺河向位移传感器的优化布置。理论上，传感器的个数应不小于选取的模态阶数，即最少需要5个，但考虑到坝体尺寸较大及有限元模型的误差，本文选择要布置的传感器数目为30个。

2.2传感器优化布置方案

提取候选自由度组成的模态矩阵，分别运用有效独立法、有效独立-总位移法和距离系数-有效独立法进行测点位置的优化，得到的最终测点如图3所示。

图3　不同方法测点布置图Fig.3 Scheme of sensor placement based on different methods

2.3方案评价

通过以下四种方法对所得方案进行评价。

(1) 模态置信准则

由结构动力学原理知，结构完备的模态向量应该是一组相互正交的向量。实际上由于测量自由度小于结构模型的自由度并且受到其他因素的影响，测得的模态向量不能保证正交性，可能出现模态向量空间交角过小而丢失重要信息的情况。模态保证准则矩阵[11]是评价模态向量交角的一种数学工具，可用来判别结构实测模态向量的独立性，其公式表达如下：

(18)

式中：φi和φj分别为第i阶和第j阶模态向量。查看MAC矩阵的非对角元素，MAC矩阵的元素Mij等于1的时候，说明第i向量与第j向量交角为零，两个向量独立性最差；当Mij等于0时，说明第i向量与第j向量相互正交，独立性最好。所以通过MAC矩阵，可以知道所测模态向量的相互独立程度。本文取MAC矩阵非对角线元素的最大值和平均值作为评价指标，二者数值越小越好。

EI法、EI-TD法和距离系数-有效独立法的MAC矩阵三维柱状图如图4所示。

图4　不同方法的MAC矩阵图Fig.4 MAC matrix of different methods

图4中两水平轴代表模态阶数，垂直轴代表MAC矩阵各元素的值，各对角线元素为1。有效独立法、有效独立-总位移法和距离系数-有效独立法的MAC矩阵非对角元素最大值分别为0.799,0.815和0.821，平均值分别为0.533,0.594和0.600。本文的有效独立-总位移法，MAC矩阵非对角线元素最大值与平均值在有效独立法和距离系数-有效独立法之间，说明它基本保持了有效独立法的优点，得到的最终测点之间独立性较好。

(2) Fisher信息矩阵值

由式(5)可知，Fisher信息矩阵Q是为了探求模态向量协方差的大小而构造的矩阵，Q最大等价于协方差最小。Fisher信息矩阵Q行列式值最大时的估计是模态坐标的无偏估计，这也与有效独立法的初衷相吻合。从统计角度分析，Fisher信息阵等价于待估参数估计误差的最小协方差矩阵，Fisher信息阵也同时度量了测试响应中所包含信息的多少，信息阵的值是越大越好。三种方法得到的Fisher信息矩阵的值见表1。

由表1可知，用有效独立-总位移法得到最终测点的Fisher信息矩阵的值在三种方法所得的测点中最大，有效独立法的值次之，而距离系数-有效独立法得到的最终测点Fisher信息矩阵值最小，说明本文方法在保留结构信息量方面同样具有较好的表现。

表1　三种方法Fisher信息矩阵值

(3) 最大奇异值比

模态矩阵的奇异值分解可以作为衡量传感器布置位置好坏的一个尺度，其计算公式就是模态矩阵奇异值的最大值与最小值之比，该比值越小，传感器位置越优。模态矩阵的最大奇异值比的下限是1，此时是最理想的情况，所选择的传感器位置所定义的结构模态矩阵完全规则正交。有三点理由说明采用此准则的必要性：①模态正交性的要求。在模态测试时各阶模态要求尽可能线性独立，当得到的模态矩阵完全正交时，其模态保证准则矩阵的最大非对角元为0，模态矩阵的所有奇异值都为1，因而其最大比值为1，二者都达到最理想状态，因此，在模态正交性的意义上，这两个准则是等价的。②模态扩阶的要求。试验识别的结构模态维数一般小于有限元的理论模态，因此如果想利用试验模态对理论模态进行验证就需要将试验模态进行扩阶或者理论模态进行缩聚。而试验模态扩阶通常需要计算模态矩阵的广义逆，如果该模态矩阵的最大奇异值比较大，则这样计算的矩阵广义逆或者得到的模态扩阶结果误差会相对较大。因此，试验模态扩阶要求模态矩阵的最大奇异值比尽可能小。③模态可观性的要求。当一个结构的运动方程写成状态方程的形式后，结构的模态可观性或者是模态的识别性是由系统可观性矩阵的秩来决定的，如果模态矩阵的最大奇异值比太大，则计算机截断误差会导致可观性矩阵的数值秩小于其理论秩，而使结构模态不可识别。

有效独立法、有效独立-总位移法、距离系数-有效独立法得到的奇异值比分别为9.33、9.07和10.67，三种方法的比值都不是很大，但是本文的有效独立-总位移法的奇异值比在三者中是最小的，奇异值比越接近于1，表明矩阵的性态越良好。说明有效独立总位移法在满足模态正交性，可观性，以及模态扩阶的要求上表现优良。

(4) 总位移值

总位移值能保证传感器布置在具有较大应变能的自由度，可在一定程度弥补有效独立法忽略自由度能量的问题。在选择最佳布置测点时，应该使测点有较大的总位移值，这是本文提出的一个传感器评价准则，有效独立法、有效独立-总位移法和距离系数-有效独立法剩余测点的总位移值见图5。

图5　三种方法的总位移值Fig.5 The total displacement values of different methods

有效独立法、有效独立-总位移法和距离系数-有效独立法所得的最终测点的总位移分别为0.003 68、0.004 25和0.002 78。有效独立-总位移法在三者中的总位移幅值最大，说明用本文的方法选择的测点有较大的应变能，可以很好的弥补有效独立法的局限性，更好的反映结构状况。

3结论

为解决传统有效独立法在大型空间结构的传感器优化布置过程中容易去除能量较大测点的问题，提出了一种能够同时满足所选测点模态独立性和保证测点应变能的传感器空间优化布置方法，即有效独立-总位移法。主要结论如下：

(1) 针对传统有效独立法在大型空间结构的传感器优化布置问题时，容易去除响应较大测点的缺点，从提高测点应变能的角度出发，提出了一种解决该问题的有效独立-总位移法的传感器优化布置方法，将本文方法与有效独立法、距离系数-有效独立法应用到大型水工结构的传感器优化布置中，分别得到了传感器数目为30个时的三种布置方案；

(2) 运用模态保证准则、Fisher信息矩阵、最大奇异值比和总位移准则对三种布置方案进行了全面评价，其中总位移准则是本文提出的以保证最终测点应变能的评价准则。研究结果表明：有效独立-总位移法在解决拱坝结构的传感器优化布置问题时，能够保证更加合理的测试信息独立性和测点的能量，保证模态之间的正交性、可观性，保留更多重要信息；

(3) 有效独立法在许多大型结构的传感器优化布置中的应用效果己得到证明，而本文方法在解决高拱坝的传感器优化布置问题时取得了不错的效果，是一种值得信赖的传感器优化布置方法。

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Optimal sensor placement for hydraulic structures based on effective independence-total displacement method

ZHANGJian-wei,LIUXuan-ran,ZHAOYu,WUGan,LIUXiao-liang(College of Water Conservancy, North China University of Water Resources and Electric Power, Zhengzhou 450000, China)

Abstract:In order to solve the problem of large hydraulic structure sensor optimization better, the Laxiwa arch dam was considered as the research subject.In view of the shortcomings of the effective independence method for getting the points with less energy, the effective independence-total displacement method was proposed.Modal assurance criterion, maximum singular-value ratio, Fisher information matrix and total displacement were used to evaluate the sensor optimization effect with an effective independence method, effective independence-total displacement method and distance coefficient-effective independence method.This study shows that the proposed effective independence-total displacement method can improve the independence and observability of the measured modes, and can improve the strain energy of the remaining points, so it is an effective and practical method for optimal sensor placement.

Key words:large hydraulic structure; arch dam; sensor-placement optimization; effective independence-total displacement method; modal assurance criteria

中图分类号:O329；TV31

文献标志码：A

DOI:10.13465/j.cnki.jvs.2016.08.023

收稿日期：2015-07-17修改稿收到日期：2015-11-04

基金项目：国家自然科学基金(51009066)；河南省高等学校青年骨干教师资助计划(2012GGJS-101)；河南省科技攻关(142102310122;132102310320)

第一作者 张建伟 男，博士，副教授，1979年生

E-mail：zjwcivil@126.com