一种新的加速收敛迭代格式求解非线性方程组

张旭 ，彭玉升

（安庆师范大学数学与计算科学学院，安徽 安庆 246133）

1 引言

考虑非线性方程组

其 中F（x）=[ f1(x)，f2(x)，…，fn(x)]T, x=（x（1），x（2），Lx（n））T且fi（i=1,2,…,n）是Rn→R 的非线性函数。求解非线性方程组的大多数迭代方法是利用Adomian分解法[1-2]，求积公式[3-5]来构造的。另外，Hueso 等[6]根据Kung 和Traub 的猜想提出了一类最优的具有4、6 阶收敛的迭代格式；Xiao[7]提出一种具有m+2阶收敛精度的改进牛顿方法，该方法针对高维的非线性方程组收敛效果更明显；Sharma[8]利用一阶差分算子来计算函数的Taylor 展开得到具有4 阶和6 阶收敛精度的两种迭代格式。受Cordero 等[9-10]的两种加速收敛迭代方法的启发，本文提出了一种带参数α，β 的加速收敛的迭代方法。所给出的是迭代格式的一般形式，并分析了收敛阶，若满足α+β=1且 β≠0，则该迭代方法至少具有p+2（p＞1）阶收敛精度；当 α=0，β=1 与 α=1，β=0 时分别是文献[9]和文献[10]中的迭代方法。最后将此一般格式应用到一种具有4 阶收敛的迭代方法上，通过数值实验，验证了新的迭代格式的可行性。

2 迭代方法

假设函数F（x）：D⊆Rn→Rn在凸集D⊆Rn上充分可微，非线性方程组F（x）=0 一个根为 ξ，给出一种带有参数α 和β 的迭代方法求解非线性方程组F（x）=0，即

其中z（k）=φ（x（k），y（k））是一种具有p 阶收敛的迭代方法，该迭代方法是含有F′（y（k））且 y（k）＝x（k）－F′（x（k））－1F（x（k））是经典的牛顿迭代。

下面给出迭代格式(2.1) 收敛阶的相应定理及证明。

定理2.1. 设F（x）：D⊆Rn→Rn，且F（x）在 ξ∈D的邻域内充分可微，其雅克比矩阵在D 上是连续且非奇异的，其中 ξ 是非线性方程组F（x）=0 的一个根。若z（k）=φ（x（k），y（k））是一种具有p（p＞1）阶收敛的迭代方法，且给定的初始值充分接近ξ，当α+β=1 且 β≠0 时，则式(2.1)至少具有p+2 阶收敛精度。

证明：分别给出F（x（k））和F′（x（k））在ξ 处 的Taylor 展式

其中

运用文献[11]中的算法，可得，

由式(2.2)和式(2.3)，可得

将式(2.4)代入F′（y（k））在 ξ 处的Taylor 展式，则有

假设下面的记号

则

分别给出F（z（k））和F′（z（k））在ξ处的Taylor 展式

由式(2.5)和式(2.7)有

与式(2.3)[11]同理，可得，

注意到

将式(2.6)和式(2.8)代入式(2.9)有

由式(2.10) 显然可见，若 α+β=1 且 β≠0，式(2.1)至少具有p+2（p＞1）阶收敛性；若 α=1，β=0，则其具有2p 阶收敛性。

3 具体迭代方法

将定理2.1 中第一步 φ（x（k），y（k））用Cordero 等[12]提出的一种具有4 阶收敛的迭代方法代替，即在式(2.1)中，设 φ（x（k），y（k））=y（k）-F′（x（k））－1[2I-F′（y（k））F′（x（k））－1]F′（y（k）），在式(2.1) 中取，得到一种具有6 阶收敛的迭代方法，记为：

在式(2.1)中取 α=0 和 β=1，同样得到一种6 阶收敛的迭代格式，记为M6：

在迭代格式(2.1)中取 α=1 和 β=0，得到一种具有8 阶收敛的迭代方法，记为M8：

其中y（k）=x（k）-F′（x（k））－1F（x（k））。

实际上，迭代格式(3.2)是文献[9]中的迭代方法，迭代方法M8是Cordero等[10]2697提出的一种格式，换句话说，迭代格式M6和M8是式(2.1)特例。

4 数值实例与小结

下面通过几个例子来表明迭代格式(2.1)的有效性，主要包括文献[12]中提到的方法(记为M4)，牛顿迭代(简记为NM)以及上面提到的三种方法。

例4.2 解非线性方程组

例4.3 解非线性方程组

其中一个根为ξ=[0.242746,2.491376,1.653518]T；

例4.4 解非线性方程组

该非线性方程组的近似根为

ξ≈[0.57735，0.57735，0.57735，-0.28868]T。

表4.1 给出相关量之间的比较，主要包括收敛到不同的解(记为解)，迭代次数和在给定的迭代停止条件下产生的误差。迭代停止满足‖x（k+1）-x（k）‖＜ε，‖F（x（k））‖＜ε，其中 ε=10-14。所有的实验计算都是在MATLAB 7.8 下实现的。

表4.1 例4.1-例4.4 的数值实验结果

例4.2 x（0）=（-1，2）T NM M4 M′6 M6 5 4 3 3 ξ2 ξ2 ξ2 ξ2 0.299863809 0.097865919 0.013756631 0.021431306 0.017898995 3.405611887e-004 4.256760027e-012 1.151496860e-010 M8 2 ξ2 0.004572035 1.404333387e-015例4.2 x（0）=（1，1）T NM 5 ξ1 0.112853752 0.017898995 M4 4 ξ1 0.037328581 9.746676914e-005 M′6 2 ξ1 0.003069432 5.811463456e-015 M6 3 ξ1 0.005022431 2.168298254e-013 M8 2 ξ1 0.001218768 1.570092459e-016例4.3 x（0）=（1，3，2）T NM5ξ0.219284955 0.070554252 M44ξ0.090049433 1.838093587e-004 M′6 2 ξ 0.002450167 4.965068306e-016 M62ξ0.004234637 1.195746792e-015 M82ξ0.001400531 4.440892099e-016例4.4 x（0）=（0.5，0.5，0.5，-0.3）T NM4ξ0.011579622 2.005599845e-004 M43ξ0.001251257 4.108425805e-010 M′6 2 ξ 4.253482018e-006 0 M6 2 ξ 8.267416208e-006 2.719479911e-016 M8 2 ξ 7.748218026e-007 0