用均值不等式求最值时如何构造定值

傅殿松

[摘要]均值不等式是高中数学重要的基本定理，应用十分广泛，用其求最值是高中数学教学的一个重点，也是近几年高考的一个热点。均值不等式是解决最值问题的有效工具，求最值要同时满足条件：“一正、二定、三相等”，缺一不可。多数求最值的问题具有隐蔽性，需要进行适当地变形才能用均值不等式求解。掌握一些常见的变形技巧，可以更好地使用均值不等式求最值。定值的构造非常重要，同时也是一个难点，需要合理拆分项或配凑因式等灵活变形。

[关键词]不等式；定值；构造

用均值不等式求最值时，定值的确定是一个难点，也是相关高考题中经常设计的一个“坎”，它往往需要一定的灵活性或技巧性。下面举例说明。

一、配 项

例1 设x>2，求函数y=x+9x-2的最小值。

分析 各项为正数，但x与9x-2的积并不是定值，故需配凑一些项，使之成为定值。分母变形的手段有限，因而考虑把x变为x-2。

y=（x-2）+9x-2+2≥2（x-2）9x-2+2=8。当x-2=9x-2，即x=5时，y取得最小值8。

例2 已知正数a，b满足ab=a+b+3，求ab的最小值。

分析 已知条件可化为（a-1）（b-1）=4，因为a，b为正数，易知a>1，b>1，而ab=a+b+3=（a-1）+（b-1）+5≥2（a-1）（b-1）+5=9，当且仅当a-1=b-1，即a=b=3时，ab取得最小值9。

二、配系数

例3 设0

分析 要求最大值，必须使两个因式的平方和为定值，但x2+（4-3x2）2不是定值。因而考虑将x的系数改为3。

y=x4-3x2=13（3x·4-3x2）

≤133x2+4-3x222=233，

当且仅当3x=4-3x2，即x=63时，y取得最大值233。

三、重复使用不等式

例4 已知a>b>0，求a2+16（a-b）b的最小值。

分析 这题困难在于字母多，关系复杂，且积不是定值，仔细观察题目结构，发现a=a-b+b，但仍不满足积为定值的要求，注意到是求最小值，故将a=a-b+b缩小为2（a-b）b，连续应用不等式缩小即可。

a2+16（a-b）b=（a-b+b）2+16（a-b）b≥4（a-b）b+16（a-b）b≥24（a-b）b·16（a-b）b=16。

当a-b=b=2，即a=22，b=2时，取得最小值16。

注意 连续应用不等式时，等号成立的条件可能不同，必须同时满足时，原题的等号才会成立。本题中a=22，b=2，满足a-b=b和4（a-b）b=16（a-b）b。

四、平方升次

例5 当x>0时，求函数y=x+4-x2的最大值。

分析 虽然x2+（4-x2）2=4为定值，但含有变量的两项是相加的形式，不能直接使用基本不等式，因此考虑通过平方变形，将函数转化为两个变量相乘的形式。

y2=x2+2x4-x2+4-x2=4+2x4-x2≤4+[x2+（4-x2）2+4]=8。

当x=4-x2，即x=2时，y取得最大值22。

五、待定系数法

有时直接配上恰当的系数比较困难，此时可以考虑借助待定系数法，利用等号成立的条件，列出等式，求出待定系数。

例6 求函数y=2sinx（sinx+cosx）的最大值。

解析 y=2sin2x+2sinxcosx=2sin2x+2sinx（acosx）a（a>0）≤2sin2x+sin2x+a2cos2xa=a+（2a+1-a2）sin2xa 若为定值，则a2=2a+1，a=2+1，所以y≤2+1。 当sinx=acosx，即sinx=2+22，cosx=2-22时，y取得最大值2+1。

六、常值代换

例7 已知x，y∈R+，且x+2y=3，求1x+1y的最小值。

解析 充分利用题设条件，常值代换，应用二元均值不等式：

1x+1y=131x+1y（x+2y）=1+132yx+xy≥1+232，当且仅当2yx=xy，且x+2y=3，即x=3（2-1），y=32（2-2）时，1x+1y取得最小值为1+232。

用均值不等式求最值是一种非常重要的数学思想方法，如何构造定值只是求最值的一个重要条件。另外影响求最值的还有两个重要条件，一个是“正”，即各项都是正数；一个是“等”，即等号都能取得，三个条件缺一不可，其中一个条件不满足，此法失效，应考虑其他求最值的方法。