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用均值不等式求最值时如何构造定值

2016-05-14傅殿松

数学学习与研究 2016年5期
关键词:构造不等式定值

傅殿松

[摘要]均值不等式是高中数学重要的基本定理,应用十分广泛,用其求最值是高中数学教学的一个重点,也是近几年高考的一个热点。均值不等式是解决最值问题的有效工具,求最值要同时满足条件:“一正、二定、三相等”,缺一不可。多数求最值的问题具有隐蔽性,需要进行适当地变形才能用均值不等式求解。掌握一些常见的变形技巧,可以更好地使用均值不等式求最值。定值的构造非常重要,同时也是一个难点,需要合理拆分项或配凑因式等灵活变形。

[关键词]不等式;定值;构造

用均值不等式求最值时,定值的确定是一个难点,也是相关高考题中经常设计的一个“坎”,它往往需要一定的灵活性或技巧性。下面举例说明。

一、配 项

例1 设x>2,求函数y=x+9x-2的最小值。

分析 各项为正数,但x与9x-2的积并不是定值,故需配凑一些项,使之成为定值。分母变形的手段有限,因而考虑把x变为x-2。

y=(x-2)+9x-2+2≥2(x-2)9x-2+2=8。当x-2=9x-2,即x=5时,y取得最小值8。

例2 已知正数a,b满足ab=a+b+3,求ab的最小值。

分析 已知条件可化为(a-1)(b-1)=4,因为a,b为正数,易知a>1,b>1,而ab=a+b+3=(a-1)+(b-1)+5≥2(a-1)(b-1)+5=9,当且仅当a-1=b-1,即a=b=3时,ab取得最小值9。

二、配系数

例3 设0

分析 要求最大值,必须使两个因式的平方和为定值,但x2+(4-3x2)2不是定值。因而考虑将x的系数改为3。

y=x4-3x2=13(3x·4-3x2)

≤133x2+4-3x222=233,

当且仅当3x=4-3x2,即x=63时,y取得最大值233。

三、重复使用不等式

例4 已知a>b>0,求a2+16(a-b)b的最小值。

分析 这题困难在于字母多,关系复杂,且积不是定值,仔细观察题目结构,发现a=a-b+b,但仍不满足积为定值的要求,注意到是求最小值,故将a=a-b+b缩小为2(a-b)b,连续应用不等式缩小即可。

a2+16(a-b)b=(a-b+b)2+16(a-b)b≥4(a-b)b+16(a-b)b≥24(a-b)b·16(a-b)b=16。

当a-b=b=2,即a=22,b=2时,取得最小值16。

注意 连续应用不等式时,等号成立的条件可能不同,必须同时满足时,原题的等号才会成立。本题中a=22,b=2,满足a-b=b和4(a-b)b=16(a-b)b。

四、平方升次

例5 当x>0时,求函数y=x+4-x2的最大值。

分析 虽然x2+(4-x2)2=4为定值,但含有变量的两项是相加的形式,不能直接使用基本不等式,因此考虑通过平方变形,将函数转化为两个变量相乘的形式。

y2=x2+2x4-x2+4-x2=4+2x4-x2≤4+[x2+(4-x2)2+4]=8。

当x=4-x2,即x=2时,y取得最大值22。

五、待定系数法

有时直接配上恰当的系数比较困难,此时可以考虑借助待定系数法,利用等号成立的条件,列出等式,求出待定系数。

例6 求函数y=2sinx(sinx+cosx)的最大值。

解析 y=2sin2x+2sinxcosx=2sin2x+2sinx(acosx)a(a>0)≤2sin2x+sin2x+a2cos2xa=a+(2a+1-a2)sin2xa 若为定值,则a2=2a+1,a=2+1,所以y≤2+1。 当sinx=acosx,即sinx=2+22,cosx=2-22时,y取得最大值2+1。

六、常值代换

例7 已知x,y∈R+,且x+2y=3,求1x+1y的最小值。

解析 充分利用题设条件,常值代换,应用二元均值不等式:

1x+1y=131x+1y(x+2y)=1+132yx+xy≥1+232,当且仅当2yx=xy,且x+2y=3,即x=3(2-1),y=32(2-2)时,1x+1y取得最小值为1+232。

用均值不等式求最值是一种非常重要的数学思想方法,如何构造定值只是求最值的一个重要条件。另外影响求最值的还有两个重要条件,一个是“正”,即各项都是正数;一个是“等”,即等号都能取得,三个条件缺一不可,其中一个条件不满足,此法失效,应考虑其他求最值的方法。

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