浅谈解析几何中探究性教学

宋淮南

[摘要]课堂教学应当通过创设问题情景，激发学生的学习兴趣；让学生进行动手操作、实验，增强他们学习的主动性；适时将问题进行拓展、延伸，培养学生的勇于探究的精神和创新能力。

[关键词]探究；拓展；创新思维

数学探究是指学生围绕某个数学问题，自主探究、学习的过程。它有独立发现、归纳类比、发明操作等方法。在这个过程中学生始终处于积极思考、主动探索、主动建构的主体地位。但这又离不开教师事先所作的、精心的教学设计和在协作学习过程中画龙点睛的引导，充分体现了教师引导作用与学生主体作用的结合，这对培养学生勇于质疑和善于反思的习惯，发展他们的创新意识，提高他们发现、提出、解决问题和实践能力等方面都能发挥重大的作用。结合解析几何的教学，浅谈探究性教学的一些体会。

一、创设问题情景，培养学生的学习兴趣

兴趣是最好的老师。因此，教师应不失时机地为学生营造“乐学、趣学”的环境。可通过精心设计教学，利用现代教育技术，在课堂上创设与主题相关的、尽可能真实的情境，让学习者能利用自己已有的知识、经验与方法，去分析和探索当前的问题，建立起新旧知识之间联系，并赋予新知识某种意义。

例如在椭圆的定义教学中，先复习圆的定义，再提出问题：平面内到两个定点的距离之和为一个常数的点的轨迹是什么？（注意与圆的定义的异同。）取一条细绳，把它的两端都固定在图板的两个定点处，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，画出的轨迹是什么曲线？让学生动手探究，教师仅作点拨、提示，探究出结果后再用《几何画板》进行动画演示，使学生从视觉上感受椭圆的形成过程。

接着提问：在这过程中，笔尖（动点）满足怎样的几何条件？若|PF1|+|PF2|=2a，动点P的轨迹是什么图形？若|PF1|+|PF2|<2a，存在这样的动点P吗？

这样既激发了学生的探索欲，又让其亲身体验到椭圆上动点所满足的几何条件，加深了对知识的理解。

二、实验操作，增强学生学习的自主性

探究式课堂教学是否能取得实效，归根到底是以学生是否参与、怎样参与、参与多少来决定的。只有最大限度地调动学生学习的潜能，让学生主动参与教学，使学生充分体验和感受学习的过程，才能让课堂充满生机。因此，在课堂教学中，应以学生自主探究活动为主线，尽可能多让学生尝试体验知识的形成过程，更多地经历观察、实验、猜想、验证、推理等学习与探索过程，从而提高学生学习数学的信心与兴趣。

当学习椭圆的性质中离心率时，问：为什么有的椭圆比较扁，有的比较圆？它的扁圆程度由什么决定？引导学生实验操作：取一条细绳，把它的两端都固定在图板的两个定点F1，F2处，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，画出一个椭圆，接着缩短（或拉长）两定点之间的距离，画出另一个椭圆。学生由探究后得出：因为绳长固定，当焦距缩短时，椭圆越圆；当焦距伸长时，椭圆越扁。从而得到离心率是决定椭圆扁圆程度的量。

数学是和现实生活紧密地联系在一起的，教师应该对教材内容做不同程度地处理，从学生已有的知识经验和熟悉的生活情境出发，在教材内容和学生求知心理之间创造新情境，把学生引入一种急待探究的状态中去，充分发挥其主动性和创造性。

三、以问题为导向，提高学生探索欲

学生若要做到灵活运用数学知识解决相关问题，从而达到以不变应万变的目的，就必须在数学中体验数学知识的拓展变化。可对一些命题，通过逆向思维求其逆命题；通过设常量为变量、引入参量、弱化或强化条件与结论等方法进行横向的拓宽和纵向的深入，揭示出它与某类问题的联系与区别。这样，我们通过“问题”引导，营造良好的课堂探讨氛围，更好地诱发学生探究的主动性，从而使学生体验到数学知识发生、发展及拓展变化过程，在解决相关问题时也就得心应手。

例：斜率为2的直线经过抛物线y2=4x的焦点F，且与抛物线相交于A、B两点，求线段AB的长。

学生做法有方法1：将直线方程与抛物线方程联立，求出两点坐标，再用两点间距离公式求出线段的长；方法2：将直线方程与抛物线方程联立，求出两点横坐标，再运用抛物线定义求解。

接下来我们进行了如下的探究过程：

问题1：能不能不求坐标求出线段的长？

答：在方法2的基础上由韦达定理可实现不解方程就能解决问题。

问题2：将斜率2改为k，求线段的长。

探究结果（1）过抛物线焦点的弦长公式；（2）得出直线与圆锥曲线相交所得弦长的公式。

拓展延伸：

问题1：求该抛物线上的点到直线y=2x+6的距离的最小值。

问题2：当线段经过抛物线的焦点时，以AB为直径的圆和抛物线的准线位置关系怎样？

问题3：斜率为2的直线被抛物线所截，求截得的线段AB的中点的轨迹方程。

问题4：求该物线内弦长为a（a>4）的动弦AB的中点到y轴的距离的最小值。

问题是探究的源泉，通过这样设计，将问题层层深入或拓展，学生的思维始终处于活跃、探索的状态，不但掌握了相关的知识，规律与思想方法，探究意识也得到提高。

培养学生的探究意识和创新能力应融入日常的课堂教学之中。教师应事先进行精心设计教学，创设良好的问题情景，增强学生的动手操作与试验，在探究的过程中，教师主要提问题，提好问题，并成为学生学习的组织者，引导者，参与者。注意处理好以下几个关系：师生、生生之间的关系；知识和能力、课内与课外的关系，应注重让学生学始终处于积极参与、合作、探究的状态中，学生的各方面能力才能得到充分的发展。