常用逻辑用语中数学思想的应用

王东荣

一、分类讨论思想

分类讨论思想是中学数学中的常用数学思想之一，也是高考中常考常新的数学思想，在常用逻辑用语一章中当然少不了它的身影.

例1若命题p：对x∈[-1，+∞），x2-2ax+2≥a为真命题，求a的取值范围.

解令f（x）=x2-2ax+2-a.则由题意知，x∈[-1，+∞）时，f（x）≥0恒成立.易知f（x）的对称轴为x=a，故

（1）若a≤-1，则f（x）min=f（-1）=a+3≥0，

解得a≥-3.所以-3≤a≤-1.

（2）若a>-1，则f（x）min=f（a）=-a2-a+2≥0，

解得-2≤a≤1.所以-1

综上，a的取值范围是-3≤a≤1.

例2已知{an}是等差数列，d为公差且不为0，a1和d均为实数，它的前n项和为Sn，设集合A={（an，Snn）|n∈N*}，集合B={（x，y）|14x2-y2=1，x，y∈R}.试问下列命题是否为真命题，如果是真命题，请给予证明；如果是假命题，请举反例说明.

（1）A∩B至多有一个元素；

（2）当a1不等于0时，一定有A∩B≠.

解（1）真命题.设（x，y）∈A∩B，

则（x，y）应是方程组y=12x+1xa1，

14x2-y2=1的解.

由方程组消去y得2a1x+a21=-4.（*）

当a1=0时，方程（*）无解，此时A∩B=；

当a1≠0时，方程（*）只有一个解x=-4-a212a1，

此时方程组也只有一个解x=-4-a212a1，

y=a21-44a1.

综上所述，上述方程组至多有一解.

所以，A∩B至多有一个元素.

（2）假命题.取a1=1，d=1.

对一切n∈N*，有an=a1+（n-1）d=n>0，Snn>0.

这时集合A中的元素作为点的坐标，其横、纵坐标均为正.

另外，由于a1=1≠0，如果A∩B≠，那么由（1）知A∩B中至多有一个元素（x0，y0），而

x0=-4-a212a1=-52<0，

y0=a1+x02=-34<0.

这样的点（x0，y0）A，故a1=1，d=1时，A∩B=.

所以a1≠0时，一定有A∩B≠是不正确的.

二、等价转化思想

等价转化思想是包含在化归思想中的比较具体的一种数学思想，在这一章主要体现在四种命题间的相互关系与几何之间关系的等价转化、原命题与其逆否命题之间的等价转化等，即以充要条件为基础，把同一种数学意义的内容从一种数学语言形式等价转化为另一种数学语言形式，从而使问题简单化、具体化.

例3已知命题p：方程mx2+mx+4=0没有实数根，命题q：函数f（x）=x2-（m+1）x+m在[2，+∞）上是增函数.若“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，求实数m的取值范围.

解因为方程mx2+mx+4=0没有实数根，

所以Δ=m2-16m<0，即p：0

因为函数f（x）=x2-（m+1）x+m在[2，+∞）上是增函数，所以m+12≤2，即q：m≤3.

又因为“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，

所以“p真q假”或“p假q真”，即0

m>3或m≤0或m≥16，

m≤3，解得3

所以实数m的取值范围为（-∞，0]∪（3，16）.

例4是否存在实数k，使方程7x2-（k+13）x+k2-k-2=0的两根分别在0

解设f（x）=7x2-（k+13）x+k2-k-2，则f（x）=0的两根分别在0

f（0）>0，

f（1）<0，

f（2）>0k2-k-2>0，

k2-2k-8<0，

k2-3k>0.

解得-2

所以存在实数-2

三、补集思想

已知全集U及其子集A，若直接求A困难或麻烦，可求A在U中的补集B，再求出B在U中的补集即为A.这种在顺向思维受阻后改用逆向思维的思想，就是数学中的补集思想.

例5已知三个不等式：①|x-1|+|x+4|0；③a>x2+1x2.若其中至多有两个不等式的解集为空集，试求实数a的取值范围.

解因为|x-1|+|x+4|≥|（x-1）-（x+4）|=5，所以不等式①的解集为空集时a≤5.

对于不等式②，当a=3时，由原不等式得x>1，显然不空；当a≠3时，要使不等式②的解集为空集，则a-3<0，

（a-2）2+4（a-3）≤0，解得-22≤a≤22.

对于③，因为x2+1x2≥2x2·1x2=2，当且仅当x2=1，即x=±1时取等号.

所以，不等式a>x2+1x2的解集为空集时，a≤2.

所以，当三个不等式的解集都为空时，-22≤a≤2.

所以，三个不等式的解集至多有两个的解集为空集的实数a的取值范围是a<-22或a>2.