新课标数学教学中的向量教学

李向阳

向量作为新时期高中数学教学的重要组成部分，对学生数学知识和能力的发展具有非常积极的意义，已经成为教师教学的关键.高中数学向量部分知识内容较为复杂，主要包括向量基础知识教学及向量在函数、立体几何等中的应用两大部分.在教学过程中教师要结合上述内容形成针对性教学策略，对向量知识及其应用进行讲解，从而确保学生能够正确运用向量知识求解数学问题.

一、向量的基础知识及其运用

向量基础知识主要包括向量的相关概念及向量的运算两部分内容.教师在进行向量概念教学的过程中要依照高中向量教学要求及教学内容，对上述知识进行汇总、提炼，确保形成良好的高中向量认识，明确高中向量概念教学的教学内容.在运用向量的相关概念解题的过程中教师要引导学生把握好向量的定义、表示方法和类别，从上述性质出发把握向量的本质，确定解题的路径.在运用向量的运算解题的过程中教师要鼓励学生耐心、细心解题，借助运算对向量习题进行求解，得到相应的答案，其具体状况见例1.

例1点D是三角形ABC内一点，并且满足AB2+CD2=AC2+BD2，求证：AD⊥BC.

解析对该例题进行求解的过程中教师要引导学生从垂直关系着手寻找各向量之间的关联.要证明AD⊥BC，则只需要证明AD·BC=0，因此，可以结合题目中所给定的条件设AD=m，AB=c，AC=b，将BC用m，b，c线性表示，实现向量的简化，然后通过向量的运算解，防止计算量过于复杂导致的关系错误.

证明设AB=c，AC=b，AD=m，

则BD=AD-AB=m-c，CD=AD-AC=m-b.

因为AB2+CD2=AC2+BD2，

所以c2+（m-b）2=b2+（m-c）2，

即c2+m2-2m·b+b2=b2+m2-2m·c+c2，

所以m·（c-b）=0，即AD·（AB-AC）=0，

所以AD·CB=0，所以AD⊥BC.

二、向量求解函数问题的运用

向量求解函数问题是高中数学教学中不可或缺的关键问题.这种问题的难度较大，包含知识点较为丰富.在教学的过程中教师要把握好向量知识体系，结合函数问题寻找向量与函数之间的关系，确定相应的关系式，构建解题桥梁.

常规向量及函数问题求解的过程中要把握好以下几方面知识内容，其主要包括：（1）对三角函数有界定义、三角函数最大（小）值、三角函数有界点、三角函数对称轴知识及概念；（2）三角函数加减法、乘除法运算知识；（3）三角函数图象知识；（4）向量数乘、数量积知识等.教师要引导学生从上述知识点出发寻找向量与函数间的基本关系及限定，寻找解题路径.

教师要认真思考提高教学效率的方法，合理使用多种多样的教学方式来提高学生的学习积极性，让学生对于数学向量不再害怕、不再迷茫，并能从中感受到学习的乐趣，进而提高高中向量教学的学习效率.笔者在教学的过程中就常通过层次性例题教学让学生加深对向量的认识，其具体状况见例2.

例2f（x）=a·b，其中向量a=（m，cos2x），b=（1+sin2x，1），x∈R，且函数y=f（x）的图象经过点（π4，2）.

（Ⅰ）求实数m的值；

（Ⅱ）求函数y=f（x）的最小值及此时x值的集合.

解析在对上题进行求解的过程中，教师可以指导学生进行适当计算，根据第1、2、3部分内容，对f（x）=a·b的值进行求解.完成求解后由三角函数的对应关系和三角函数的转化求出m值.

解答（Ⅰ） f（x）=a·b=m（1+sin2x）+cos2x，

由已知f（π4）=m（1+sinπ2）+cosπ2=2，得m=1.

（Ⅱ）由上可知

f（x）=1+sin2x+cos2x=1+2sin（2x+π4）.

所以当sin（2x+π4）=-1时，

y=f（x）的最小值为1-2，

由sin（2x+π4）=-1，

得x值的集合为{x|x=kπ-3π8，k∈Z}.

这类的题目整体难度适中，主要是对学生计算能力和认真度的考查，是对学生数学基础的检验.在进行该部分复习的过程中，教师要指导学生依照解题步骤进行操作和计算，得出结果后要及时进行检验.通过检验提高学生做题的准确性，保证学生养成良好的解题习惯.

三、向量求解立体几何的运用

向量法在解决求立几中的角和距离两大问题中，是行之有效的方法，它降低了立几中求证和求解的难度，是一种非常高效和便捷的解题手段.运用向量法解决立体几何问题的过程中，要通过“作”、“证”、“求”三步，在空间想象过程中对空间中，线、面之间的关系进行判定，确定相应的向量关系式，寻找向量求解立体几何的路径.

向量法则很好展现了立体几何中复杂的数学关系，以向量对关系状况进行表达非常简洁和清晰，解题过程中避免了过多坐标量导致的计算错误，所以它对人们研究立几问题有着普及的意义.尤其是在立体几何中线面平行和线面垂直、面面垂直和面面平行等位置关系的证明时，更能达到事半功倍的效果.

例3设a=（a1，a2，a3），b=b1，b2，b3，且a≠b，记|a-b|=m，求a-b与x轴正方向的夹角的余弦值.

解析本题主要考察了向量夹角余弦值的求解方法，解题的过程中找出两个向量之间的关系后，直接用余弦值求解公式即可.因此，要在a-b=（a1-b1，a2-b2，a3-b3）与x轴正方向向量c=（x，0，0）之间建立点积关系.

解答取x轴正方向的任一向量c=（x，0，0），设所求夹角为α，

因为（a-b）·c=（a1-b1，a2-b2，a3-b3）·（x，0，0）

=（a1-b1）x，

所以cosα=（a-b）·c|a-b||c|=（a1-b1）xmx=a1-b1m，

即为所求.

基础部分知识解题时难度较小，在对该类习题进行求解的过程中只要将向量关系代入后求解即可.部分情况下可以采用逆向思维倒推，从而找到向量关系式，完成问题的处理.

四、向量求解解析几何的运用

在高中数学体系中，解析几何占有着很重要的地位，有些问题用常规方法去解决往往运算比较繁杂，运用向量作形与数的转化则会大大简化过程，实现解析几何的化简，从根本上提升问题的处理效益.但是应用向量求解解析几何问题的过程中，教师要解析结合中常用的向量关系式进行归纳和总结，从学生感兴趣的内容出发，构建相应的教学内容，让学生进行解题联系，这样才能够让学生快速找到解析几何中的解题点.

例4已知A（-3，0），B（3，0），动点P满足|PA|+|PB|=4.

（1）求动点P的轨迹C的方程；

（2）过点（1，0）作直线l与曲线C交于M、N两点，求OM·ON的取值范围.

解析该题求解的过程中主要把握好数量积的关系式，要在数量积的基础上借助函数最值关系求解OM·ON的取值范围.

解答（1）由题目中的关系量可知，动点P的轨迹C的方程为x24+y2=1.

（2）当直线l为x轴时，

M（-2，0），N（2，0），OM·ON=-4.

当直线l不为x轴时，设过（1，0）的直线l：x=λy+1，

代入曲线C的方程得（4+λ2）y2+2λy-3=0.

设M（x1，y1）、N（x2，y2），

则y1+y2=-2λ4+λ2，y1y2=-34+λ2.

OM·ON=x1x2+y1y2=（λ2+1）y1y2+λ（y1+y2）+1

=-4λ2+14+λ2=-4+174+λ2∈（-4，14].

所以OM·ON的取值范围为[-4，14].

向量处理解析几何问题的过程中需要找准向量关系，以该关系作为突破口解题，对复杂的解析几何关系进行转化，完成问题的简化.

高中数学向量知识教学的过程中教师要对向量知识点进行整理，在该基础上形成针对性框架体系，对各知识点之间的关联进行明确，从而实现向量知识内容的全面把握.教师要有目的性地引导学生进行各种类型向量习题的训练，在实际训练中发现学生的不足并给予相应的建议，潜移默化中提升学生向量问题处理效果.