化归思想在中学数学解题中的应用

刘燕囡

数学是研究数量、结构、变化、空间以及信息等概念的一门科学，在人类社会经济发展中，数学发挥着不可替代的作用.中学数学的学习基础会直接影响到代数、几何、统计等更深层次的学习，因此，在中学数学教学中，要稳扎稳打，教会学生建立正确的数学学习思维，才能更好地学好数学.化归思想就是一种行之有效的数学思维.

一、化归思想的概念

化归思想总的来说就是转化和归结，是将一个问题由繁复变简单、由难变易、由抽象变直观的过程.数学的学习也是从易到难，从简单到复杂的过程.在面对一道数学题，已掌握的知识与方法都不能解题的时候，通过研究和分析数学问题之间的关系，将问题通过变换转化，使之变成已知求解的过程，从而达到解题的一种方法.化归思想既是一种解题思想，也是一种基本的思维策略，更是一种有效的数学思维方式.

二、化归思想应遵循的原则

化归思想在简单的、具体的、基础的知识上，把未知的、复杂的、抽象的知识转化归结到简单的、基础的、具体的问题来解决，其应遵循的原则有以下几个方面.

1.简单化原则

实际学习中，每个学生掌握的知识都是有限的，因此，在面对复杂的数学题时，应该利用简单化的原则，把复杂多变的问题变换转化成简单的基础问题，从简单基本的问题找到突破口，以有限的知识为依据，找到解题的方向与捷径，有效地进行数学解题.

2.直观化原则

数学当中的抽象问题是阻挡学生学习数学热情的因素之一.抽象的问题不好理解，也不容易理清它们之间的关系，因此，在解题过程中很容易迷失方向.针对这一问题，则可遵循直观化原则，把抽象的问题转化为具体的问题，或是用直观化的方式去分析理解题目，找到问题的关联点，进而由点及面地解析全题，这也不失为一种学习方法.

3.熟悉化原则

数学学习的一大难点就是未知.数学是一门科学，在学习过程中总会出现许许多多我们没见过或是不熟悉的问题，这无形中就给学习数学带来了莫大的挑战，这时就可以利用熟悉化的原则，在问题当中寻找关联、相似、简单的知识点，对问题进行不断地转化，把未知，不熟悉的问题转化成为已知、熟悉的问题去解题，使解题达到事半功倍的效果.

4.极端化原则

通过对数学问题中的极端情形或极端特性进行合理猜想与分析，求出特殊值，并依据特殊值的启示与开发，寻求解决问题的方法，这一方法思路灵活，有效地提高解题效率，适当地使用这一原则，能拓宽数学学习的思维.

5.合谐化原则

在化归过程中，在问题的转化归结时要注意条件与结论的形式要与数、式、形内部所表现的形式相合谐统一，这不仅有利于体现它们之间的本质联系.更利于使其方便运用某种数学方式进行推演运算，也可以使得其运用的方法更符合人们的解题思路.

三、化归思想的几种解题方法

1.配方法

配方法是一种式子变形方法，在中学数学中占有重要地位.在中学数学中，配方法除了在方程式中有应用外，还广泛应用在代数求值、因式分解、二次根式简化、恒等式证明等方面，因此，运用数学化归思想，可以在数学解答的过程中，适当地将代数式进行配方，可以快速地解答数学题.

例1已知a2+b2+2a-4b+5=0，求2a2+4b-3的值.

根据题目平方式分析，题目可用配方法来求解，由a2+b2+2a-4b+5=0得（a2+2a+1）+（b2-4b+4）=0，即（a+1）2+（b-2）2=0.根据非负数的性质得a+1=0，b-2=0，解得a=-1，b=2.所以原式=2a+4b-3=2×（-1）2+4×2-3=7.配方法是恒等式变形的方式，是研究相等关系和不等关系的重要技巧，因此，在数学解题过程中，要适当地运用配方法化归数学题，提高解题技巧.

2.整体代入法

在数学解题思路中常用的化归方法是整体代入法.这是对题目整体进行结构的分析和改变，把题目中某些式子或某部分看做一个整体，依据它们之间的关联，进行有意识的整合变形，达到解题的目的.

例2已知3x=a，3y=b，求3x+y的值.

解由同底数幂公式可将题目变形为3x×3y，并将已知条件看做一个整体然后代入3x+y中运算，解得答案是ab.根据题意，已知条件给出的不是具体数值，也无法求出具体数值，按照常规的解题思路是无法求解的，这个时候适当地使用整体代入法，先对题目先变形，然后将题目给出的条件整体代入求解.

3.化简代入法

当一道数学题太过复杂，容易让人混淆题意，或是无法理清思路而导致解题失败，针对这一情况，可先运用所学分析题目，由难化易来解题.以例2为例，直接求x，y不容易，直接将已知条件代入也不能求解，因此，根据化归思想简单化原则，可先对式子变形化简，再将已知条件代入所求式中计算才能解出答案.

4.特殊值求法

在数学解题过程中，有很多题目是不能用常规的方法来直接解题的.这时可以分析题目中提供的信息，选择题目中比较特殊或是典型的情况为突破口，算出特殊值或是将数据公式代入，把普通形式变成特殊形式，再进一步解题.数学是一门广泛的学科，其内在联系错综复杂，往往是一般中含有特殊化，特殊化中又有普遍性，因此，在数学的学习当中应当注意其相互关联系的特性，并通过对其深入的分析与研究来形成一种良好的解题思路.

例3已知a，b，c是△ABC的三条边，则a2+b2-c2-2ab的值是正数还是负数？

这道题没有具体的参数，如果用常规的解法解题比较困难，这时，巧妙地用特殊值求法，则可以快速解题，根据题意可假设a=2，b=3，c=4，代入到题中最后算出是负数.

5.直接转化法

在数学解题中，还可以通过直接转化法将比较抽象的题目转换成直观的数字、图形来解题，也可以把不熟悉或是新的知识转换成已熟悉的旧知识来解题.如例3，只知道a，b，c三条边，没有具体数值，题目就会非常的抽象，在解题过程中直接将三条边假设三个具体数值，将抽象的题目转化成直接的数字，然后代入计算就可解题.

数学反映生活，应用于生活，世间万物都是相互联系，相互制约的，而数学之间的关系也是如此，因此，数学解题中的化归思想才会几乎无处不在.现今的数学教学的目的是要将所学数学知识应用到社会生活与经济发展中，因此，在平时的数学教学中，要注重在知识形成过程中、在探索解题过程中、在解答问题中都要及时有效地引导和培养学生归化方式的解题思维，有利于学生更好地学习数学，并有效提高学生对知识的运用.