平面直角坐标系中的对称

□左效平



平面直角坐标系中的对称

□左效平

一、单点的一次性对称，探求变化后点的坐标

例1（2015·株洲）在平面直角坐标系中，点（－3，2）关于y轴的对称点的坐标是______.

分析：坐标系中单点的对称有三种：关于x轴对称，y轴对称和原点对称.对于这类问题的解答，有三种方法：

垂直等距作图法：

1.过该点向坐标轴引垂线；

2.延长垂线段，使得延长线段的长度等于已知的垂线段的长度；

3.此时端点对应的坐标即为所求.

SHAN Chan-juan, LONG Jun-rui, WU Bi-bo, QIN Xiao, MEI Chang-lin, WANG Jiu-sheng, XIONG Lin-ping

规律法：

两点关于x轴对称：横坐标不变，纵坐标互为相反数；两点关于y轴对称：纵坐标不变，横坐标互为相反数；两点关于原点对称：横坐标与纵坐标均互为相反数.

延长等长法：

1.连接这个点与原点之间的线段；

2.延长线段到新点，使得新点到原点的距离等于所连线段长；

3.新点对应的坐标即为所求.

解：应该填写的答案是（3，2）.

二、单点的连续对称，探求变化后点的坐标

例2（2015·南京）在平面直角坐标系中，点A的坐标是（2，－3），作点A关于x轴的对称点，得到点A′，再作点A′关于y轴的对称点，得到点A″，则点A″的坐标是（____，___）.

分析：运用规律法，已知点A的坐标是（2，－3），点A′与点A关于x轴对称，得到A′的坐标为（2，3），由点A″与点A′关于y轴对称，因此点A″的坐标是（－2，3）.

解：分别填：－2，3.

三、单点关于直线对称，探求变化后点的坐标

例3（2015·凉山）在平面直角坐标系中，点P（－3，2）关于直线y＝x对称点的坐标是（）.

A.（－3，－2）B.（3，2）

C.（2，－3）D.（3，－2）

分析：解决本题可用到如下两个结论：

1.点A（a，b）关于直线y＝x对称的点是B，则B的坐标为（b，a）.

2.点A（a，b）关于直线y＝－x对称的点是B，则B的坐标为（－b，－a）.

因为点P与点Q关于y＝x对称，故点Q的坐标为（2，－3），所以选C.

四、对称、平移、计算综合

例4（2015·武汉）如下图，已知点A（－4，2）、B（－1，－2），平行四边形ABCD的对角线交于坐标原点O.

（1）请直接写出点C、D的坐标；

（2）写出从线段AB到线段CD的变换过程；

（3）直接写出平行四边形ABCD的面积.

分析：（1）根据点关于原点的对称规律写出C、D坐标；

（2）从平移的角度来说明；

（3）点B、C的纵坐标相同，故BC∥x轴，同理AD∥x轴.BC长度可由点B、C的横坐标来计算，BC上的高是A、B两点纵坐标的差.

解：（1）C（4，－2）、D（1，2）；

（2）AB沿着BC平移BC长度得到线段CD；

（3）BC＝4－（－1）＝5，BC上的高为A，B两点纵坐标的差即2－（－2）＝4，所以平行四边形ABCD的面积为5×4＝20.

插图：杨明