具有耗散项的Musca domestica苍蝇模型波前解的持续性

刘　芳，傅仰耿

(华侨大学数学科学学院, 福建 泉州 362021)



具有耗散项的Musca domestica苍蝇模型波前解的持续性

刘芳，傅仰耿

(华侨大学数学科学学院, 福建 泉州 362021)

摘要：对具有耗散项的Musca domestica苍蝇模型的波前解进行研究, 在耗散充分小的情况下, 运用几何奇异摄动理论证明其波前解是持续的, 即如果开始时种群数量非零, 那么它最终将稳定于一个常态。

关键词：具有耗散项的Musca domestica苍蝇模型; 几何奇异摄动; 波前解; 持续性

为解释实验室内成熟Musca domestica苍蝇的种群数目变化规律, 1976年Taylor等提出了包含时滞项的种群增长模型[1]

(1)

其中：u(t)是成熟家蝇数目；d>0是成熟家蝇死亡率； 时滞τ>0是成熟家蝇产卵与蜕化为成虫间的时间间隔； b>0是实际产卵率与理论产卵率的比值( 产卵与成熟家蝇总数在同一标准下)；k>0是成活率的最大值；z是由额外卵出现的成活率的降低。 但模型假定该苍蝇种群在成长过程中总是处在同一个地方而不到处移动, 所以不能准确反映种群增长规律。在实际环境中, 任何生物种群总是在某个范围内不断移动的。 尤其是对苍蝇种群而言, 其不仅数目巨大, 而且活动空间极其广阔；所以, 要研究苍蝇种群就要将种群扩散考虑进去[2]。

随后, 许多学者对物种模型的优化和推广产生极大兴趣, 因此暂时性时滞和空间平均[3]被考虑到模型的非线性项中；所以, 邓习军提出了更接近实际生活的Musca domestica苍蝇物种模型[4]

(2)

其中D>0表示扩散系数, 卷积f*u定义为

(3)

而且卷积核f(x,t)满足条件

(4)

若取卷积核f(x,t)=δ(x)δ(t-τ),则方程(2)退化为含离散时滞的Musca domestica苍蝇模型

(5)

邓习军[5]利用上、下解方法及单调迭代技巧得到了模型(5)波前解存在的充分条件, 并证明当时滞充分小时,该模型连结2个一致静态解的波前解仍然可以保持。 当τ=0时, 方程(5)退化为如下经典的Fisher方程或称扩散Logistic方程

(6)

(7)

且方程(2)可化为

(8)

邓习军[4]利用几何奇异摄动理论证明了方程(7)波前解的存在性以及具有弱生成核

的模型(8)的波前解的存在性。

本文研究了具有耗散项的Musca domestica苍蝇模型

(9)

的波前解的存在性, 其中D>0表示耗散参数。利用几何奇异摄动理论证明了当D充分小且β>1时其波前解是持续的, 即在耗散充分小的情况下, 如果开始时种群数量非零, 那么它最终将稳定于一个常态。

1动力系统的刻画

对方程(9)做行波变换, 即将

u(x,t)=U(ξ)， ξ=x-ct

(10)

代入方程(9)得到

βU-U-βU2+cU′+U″-DU″″=0。

(11)

定义新的变量U′=v, v′=y, y′=w, 则方程(11)可以改写为

(12)

其对应的特征方程为

Dλ4-λ2-cλ-β+1=0。

(13)

类似地, 系统(12)在稳定态Y1的Jacobi矩阵为

其对应的特征方程为

Dλ4-λ2-cλ+β-1=0。

(14)

从而有如下结论:

定理1如果c>0, 那么系统(11)中Y0的稳定流形是三维的, Y1的不稳定流形是二维的。

证明定理的证明运用辐角原理。已知在Y0处线性化的谱是由方程(13)的根所决定的, 则把方程(13)改写为m0(λ)=0, 其中

m0(λ)=Dλ4-λ2-cλ-β+1。

下面证明m0(λ)=0在左半复平面有3个根。由于m0(λ)是解析的, 则它在左半复平面上根的个数为

(15)

其中：周线c0是以原点为中心、半径为R的包含在区域Reλ≤0中的半圆边界,且方向是逆时针的；Δc0argm0(λ)是指m0(λ)沿着c0总的辐角改变量。式(15)

其中中括号里的量表示当R从0到正无穷时m0(iR)的总辐角改变量。当R=0时, m0(iR)的像从负实轴出发; 当R足够大时, 它会一直在第四象限, 且当R→时它的渐近性态为

Rem0(iR)～DR4,Imm0(iR)～-cR。

因此,[argm0(iR)]+0=π, 即特征方程(13)在左半复平面上根的个数为3。

类似地, 把方程(14)改写为m1(λ)=0, 其中

m1(λ)=Dλ4-λ2-cλ+β-1。

它在右半复平面上根的个数为

由于β-1>0, 故虚部Imm1(iR)的图像没有绕过原点；因此[argm1(iR)]+0=0, 即特征方程(14)在右半复平面上根的个数为2。定理证毕。

由于不稳定流形Ws(Y0)和稳定流形Wu(Y1)的维数和为5, 相空间维数为4；所以这两个流形可能在R4中交于一条一维曲线, 即系统(12)的一条异宿轨线。

2小耗散的波前解持续性

这里考虑D=ε2≪1的情况。引入坐标U′=v, v′=y, 并且伸展变量w=εy′, 则系统(9)可以改写为

(16)

称其为“慢系统”。 令η=ξ/ε, 则与系统(16)对应的“快系统”为

(17)

在系统(16)中令ε=0, 则U和v由

(18)

决定, 而y和w属于集合

M0={(U,v,y,w)∈R4:w=0,y+cv-U+βU-βU2=0}。

这里M0是R4的一个二维子空间。

由文献[7]中定义可知, 如果快系统限制在M0上的特征值有M0维数个在虚轴上, 且余下的都是双曲的；则称流形M0是正规双曲的。限制在M0上的快系统(17)线性化系统的矩阵为

其中

s=-1+β-2βU。

计算可得这个矩阵的特征值为0, 0, -1, 1, 即M0是正规双曲的；所以, 由Fenichel不变流形理论可知, 对于充分小的ε, 存在R4的二维子流形Mε, 使得其在M0的ε邻域内, 且对于慢系统(16)的流是不变的。

为了确定Mε上的动力学行为, 记

其中函数g和h满足

g(U,v,0)=h(U,v,0)=0。

将Mε中的表达式代入系统(16), 得到函数g和h所满足的方程组

再将g和h在ε处进行泰勒展开，得

然后代入上面的方程组并分别比较g和h中ε的同阶项的系数, ε零次幂的系数为

g(U,v,0)=h(U,v,0)=0。

比较ε一次幂的系数得

gε(U,v,0)=c2v-cU+cβU-cβU2+v-βv+2βUv,

hε(U,v,0)=0；

比较ε二次幂的系数得

这样就可以把系统(16)改写为

(19)

它决定Mε上的动力学行为。下面给出并证明持续性定理。

(20)

其中Φ(U,v,c,ε)满足

Φ(U,v,c,0)=-cv+U-βU+βU2。

由于U0(ξ)为严格增加, 故其可被刻画为某个函数的图像, 将此函数表示为

v=f(U,c0)。

由不变流形理论可知, 对于充分小的ε, E-的不稳定流形可以被刻画为函数

v=f1(U,c,ε)

的图像, 其中f1(0,c,ε)=0。由解对参数的连续依赖性可知, 当ε充分小时, 这个流形一定过直线U=c0上的某一点。

f1(U,c0,0)=f2(U,c0,0)=f(U,c0)。

为了证明当ε>0时存在一条异宿轨, 只需证明在c0附近存在唯一的函数c=c(ε)使得流形f1和f2在U=c0上交于同一点。 定义函数

G(c,ε)=f1(c0,c,ε)-f2(c0,c,ε)。

(21)

由于v=f1(U,c,ε)和v=f2(U,c,ε)都满足方程

则有

(22)

令

由

解方程(22)得

(23)

这样就有

(24)

类似地有

(25)

从而有

参考文献

[1]Taylor C E, Sokal R R. Oscillations in Housefly Population Sizes Due to Time Lags[J]. Ecology, 1976, 57:1060.

[2]Wu J. Theory and Applications of Partial Functional Differential Equations[M]. New York: Springer-Verlag,1996.

[3]Murray J D. Mathematical Biology [M]. New York: Springer-Verlag, 1989.

[4]邓习军. 具时空时滞的扩散Musca domestica苍蝇模型的波前解[J]. 长江大学学报(自然科学版), 2006, 3(3): 6.

[5]邓习军. 具离散时滞的扩散Musca domestica苍蝇模型的波前解[J]. 工程数学学报, 2008, 25(4): 651.

[6]Fife P C. Mathematical Aspects of Reaction and Diffusion Systems [M]. Berlin ：Lecture Notes in Biomathematics, 1979.

[7]Fenichel N. Geometric Singular Perturbation Theory for Ordinary Differential Equations[J].J Differential Eqs, 1979, 31:53.

[8]Fu Y, Liu Z. Persistence of Travailing Fronts of Kdv-Buramoto Equation[J]. Appl Math Comput, 2010,216:2199.

[9]Yuliya N Kyrychko, Konstantin B Blyuss. Persistence of Traveling Waves in a Generalized Fisher Equation[J]. Physics Letter A, 2009,373：668.

(编校：叶超)

Persistence of Traveling Fronts of the Musca Domestica Blowflies Model with Long-range Diffusion

LIU Fang，FU Yanggeng

(SchoolofMathematicalScience,HuaqiaoUniversity,Quanzhou362021China)

Abstract:We studied the traveling fronts of the Musca domestica blowflies model with long-range diffusion from geometric singular perturbation point of view. Using analogy between traveling waves and heteroclinic solutions of corresponding ODEs, we proved the persistence of these waves for sufficiently small dissipation. Namely, the population quantity will finally reach a steady state if it is nonzero at begin.

Keywords:Musca domestica blowflies model with long-range diffusion; geometric singular perturbation; traveling fronts; persistence

doi:10.3969/j.issn.1673-159X.2016.02.018

中图分类号：O175.14

文献标志码：A

文章编号：1673-159X(2016)02-0094-6

基金项目：国家自然科学基金(11401229)。

收稿日期：2015-06-27

第一作者：刘芳(1990—)，女，硕士研究生，主要研究方向为微分方程。

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