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函数极限几个简单结论的推导

2016-05-11吕希元

科教导刊·电子版 2016年7期
关键词:邻域

吕希元

摘 要 函数极限是指函数的自变量在其定义域内以某种形势无限变化时,函数无限趋近于某个常数的结果,它是一类非常重要的变化过程,本文主要介绍以函数极限的几个性质作为前提延伸出的函数的几个结论,并加以适当的证明。

关键词 函数极限 邻域 点x0处的极限 无穷远处的极限 单侧极限

中图分类号:O171 文献标识码:A

1函数的极限

1.1函数在x0点的极限的定义

若f(x)在x0点某邻域有定义(但可能不包含x0本身),A是一个常数, >0, >0,s.t0<|x x0|< 时,有|f(x) A|< 成立,就称A是f(x)在x0处的极限,记作:f(x)=A。

1.2函数在x0点的极限的性质

定理1:设f(x)=A,g(x)=B,且A>B,则存在 >0,当0<|x x0|< 时,有f(x)>g(x)。

证明:由f(x)=A,则 =, 1>0,使0<|x x0|< 1时,有|f(x) A|<,即:

同理:g(x)=B,则 =, 2>0,使0<|x x0|< 2时,有|g(x) B|<,即:

取 =min{ 1, 2}>0,则有:g(x)<

定理2:设f(x)=A,则存在 >0,当0<|x x0|< 时,f(x)有界。

证明:由f(x)=A, =1, >0,当0<|x x0|< 时,有|f(x) A|<1,即:A 1

定理3:若f(x)=A的充要条件是对任何以x0为极限的数列xn,xn≠x0,有f(xn)=A。

证明:必要性:由f(x)=A,则 >0, >0,当0<|x x0|< 时,有|f(x) A|< 。又由f(xn)=x0,则 >0, N∈N*,当n>N时,有0<|xn x0|< ,从而有|f(xn) A|< 成立。

充分性:用反证法,假设f(x)≠A,则 >0, >0, x,当0<|x x0|< 时,有|f(x) A|≥ ,分别取 为1,,,…,,…时,得到x1,x2,…,xn,…满足下式:

0<|x x0|<1时,|f(x1) A|≥

0<|x2 x0|<时,|f(x2) A|≥

……………………………

0<|xn x0|<时,|f(xn) A|≥

……………………………

由此,当n→∞ 时,xn=x0且xn≠x0,而f(x)≠A与已知矛盾,从而充分性成立。

定理4:若f(x)=A,g(x)=B,则f(x)·g(x)=A·B。

证明:由f(x)=A,则 >0, 1>0,当0<|x x0|< 1时,|f(x) A|< ,且 2>0,当0<|x x0|< 2, M>0有|f(x)≤M|。同理,由g(x)=B,则 >0, 3>0,有0<|x x0|< 3时,有|g(x) B|< 成立。取 =min{ 1, 2, 3},有:0<|x x0|< 时,|f(x)·g(x) AB|=|f(x)·g(x) f(x)·B+f(x)·B AB|≤|f(x)|·|g(x) B|+|B|·|f(x) A|<(M+|B|)· 成立。

1.3函数在正无限远处极限的定义

设 >0, X>0,当 x>X时,有|f(x) A|< 成立,记作f(x)=A。

2几个简单的函数极限的结论

2.1结论及其简单的证明

结论1:若f(x)=A,g(x)=B,并且存在 >0,当0<|x x0|< 时,有f(x)≥g(x),证明:A≥B。

证明:用反证法,设A0,则 1>0,当0<|x x0|< 1时,有|f(x) A|< =,即:0,当0<|x x0|< 2时,有|g(x) B|<,即0时,当0<|x x0|< 0时,有:f(x)<

结论2:若在点x0的某邻域内有g(x)≤f(x)≤h(x),并且g(x)和h(x)在x0的极限存在并且都等于A,证明:f(x)=A。

证明: 1>0,当0<|x x0|< 1时,有g(x)≤f(x)≤h(x)成立,由g(x)=A,则 >0, 2>0,当0<|x x0|< 2时,有|g(x) A|< ,即:A 0, 3>0,当0<|x x0|< 3时,有|h(x) A|< ,即:A

结论3:若f(x)=A,g(x)=B≠0,则=。

证明:由f(x)=A,则 >0, 1>0,当0<|x x0|< 1时,有|f(x) A|< ,又由g(x)=B≠0,则 >0, 2>0,当0<|x x0|< 2时,有|g(x) B|< ,且 3>0,当0<|x x0|< 3时,有|g(x)|<。取 =min{ , 1, 2},当0<|x x0|< 时,有从而:=成立。

结论4:若f(x)=A,g(x)=B,则f(x)g(x)=AB。

证明:由f(x)=A,则 >0, X1>0,当x>X1时,有|f(x)-A|< ,且 X2>0,当x>X2时,有|f(x)|≤M。又由g(x)=B, >0, X3>0,当x>X3时,有|g(x)-B|< 。取X=max{X1,X2,X3,},当x>X时,有

|f(x)g(x)-AB|=|f(x)g(x)-f(x)B+f(x)B-AB|≤|f(x)||g(x)-B|+|B||f(x)-A|<(M+|B|)· ,从而:f(x)g(x)=AB。

结论5:若f(x)=A的充要条件是:对任何数列xn→+∞,有f(xn)=A。

证明:必要性:由f(x)=A,则 >0, X>0,当 x>X时,有|f(x)-A|< ,由于xn→+∞,则 N∈N*,当n>N时,有xn>X,则|f(xn)-A|< ,故f(xn)=A。

充分性:用反证法,假设条件成立时f(x)≠A,则 >0,对 X>0,都 x,有x>X时,|f(x)-A|≥ 成立,若分别取X为:1,2,3,…,n,…得到适当的x1,x2,x3,…,xn,…满足下式:

x1>1时,|f(x1)-A|≥ ;

x2>1时,|f(x2)-A|≥ ;

……………………………

xn>n时|f(xn)-A|≥ ,

……………………………

由此看出,xn=+∞,而f(xn)≠A,此与条件矛盾,故f(x)=A成立。

3小结

利用所得结论可以来求解如下极限:

例:f(x)=sinx,当x→+∞时,极限不存在。

解:取xn=2n 时,当n→+∞时,f(xn)=0,则f(xn)=0;而xn=2n +时,当n→+∞时,f(xn)=1,则f(xn)=1,故极限不唯一,说明x→+∞时,f(x)的极限不存在。

参考文献

[1] 陈传璋等.数学分析(上)[M].北京:高等教育出版社,2003.

[2] 张芳,王峰.复变函数与高等数学的一些类比[J].重庆科技学院学报,2013(15):163-164.

[3] 白银凤,罗蕴玲.微积分及其应用[M].北京:高等教育出版社,2001.

[4] 杜栋,庞庆华,吴炎.现代综合评价方法与案例精选[M].北京:清华大学出版社,2008:11-33.

[5] 贺自树,等.数学分析习题课选讲[M].重庆:重庆大学出版社,2007.

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