试论类比法在乘法公式中的应用

朱军

摘 要：教师要结合乘法公式研究如何应用类比法进行乘法公式教学，帮助学生实现对新知识的深化理解，进而使学生有效掌握新知识。

关键词：乘法公式；类比教学；应用；数学

中图分类号：G633.6；G424.21 文献标志码：A 文章编号：1008-3561（2016）12-0053-01

一、类比教学法内涵

关于类比的说法很多，教师认为：类比教学法，就是通过与教学内容相似或相通并且为学生所熟悉的事物或学习过的知识进行类比，以建立知识模型，化抽象为具体，促使复杂变为简单，进而帮助学生实现新知识的深化理解，促进学生有效掌握新知识的教学方法。在运用类比教学法之前，教师必须对两个对象进行比较，找出它们的相似部分，发现可类比的特征。类比的相似点越多，类比才越有效。

二、类比教学法在乘法公式中的应用

1. 结构类比

（1）与平方差公式结构类比。学生学习过平方差公式（a+b）（a-b）=a2-b2后，教师一定要讲清公式中a、b符号的意义。a、b仅仅是一个符号，它们可以代表一个数，也可以代表一个单项式或多项式，只是它们的和与差的积，一定等于它们的平方差。教师可以把它结构简记为：（前+后）（前-后）=前2-后2。符号简记为：“前”面完全相同，“后”面互为相反数，这就是公式符号的特征。如果遇到有类似结构的就可用类比法，它就是我们的类比源，靶问题与它类比即可。

例：（2x+3）（2x-3）中，可把2x比作a，把3比作b；（-m+2n）（-m-2n）中，把-m比作a，2n比作b；（3a-2b）（-3a-2b）中，注意把这个乘积式结构颠倒过来进行类比，把-2b比作a，把3a比作b，因此有：1）（2x+3）（2x-3）=（2x）2-32=4x2-9。2）（-m+2n）（-m-2n）=（-m）2-（2n）2=m2-4n2。3）（3a-2b）（-3a-2b）=（-2b+3a）（-2b-3a）=（-2b）2-（3a）2=4b2-9a2。4）在59×61中，可以先把它写成：59×61=（60-1）（60+1），然后再按照公式（a+b）（a-b）=a2-b2计算。拓展：（x+2y-3）（x-2y+3）=？在这道题中，如何变化括号中的项，才能运用平方差公式（a+b）（a-b）=a2-b2计算 ？

（2）与完全平方公式结构类比。完全平方公式：（a+b）2=a2+

2ab+b2，（a-b）2=a2-2ab+b2。公式中a、b符号的意义与平方差公式（a+b）（a-b）=a2-b2中a、b符号的意义一样，它们可以表示数，也可以表示单项式、多项式，只是它们的和与差是完全平方。

例：运用完全平方公式计算。

1）（-2m+3n）2；2）（3y-）2。让学生类比：上述两题中完全平方里的两项，哪个相当于a，哪个相当于b，然后按照完全平方公式计算。

例：运用乘法公式简便计算。

1）103×97； 2）1042。启发学生思考：在小学里学生学过简便计算，看看上面的算式，各个数最接近哪个整数，怎样变化后还是跟原数相等？其中，103×97=（100+3）（100-3）；1042=（100+4）2。这样变化，就能使算式从山重水复到柳暗花明，从而可以与完全平方公式进行类比计算。

2. 规律题类比

规律题，不论是平时考，还是中考，都是考试的热点问题，它主要考查学生的类比能力。这类题学生从前面题目中找到规律和方法即可解题，但要关注细节，以防出错。

例：观察下列各式：（x-1）（x+1）=x2-1，（x-1）（x2+x+1）=x3-1，（x-1）（x3+x2+x+1）=x4-1。

启发学生，题题类比，发现规律：（x-1）（xn+xn-1+xn-2+…+x+1）=xn+1-1（其中n为正整数）。

类比题：1）（a-b）（a+b）=a2-b2，2）（a-b）（a2+ab+b2）=a3-b3，3）（a-b）（a3+a2b+ab2+b3）=a4-b4。……可以得出（a-b）（an+an-1b+an-2b2+…+bn）=an+1-bn+1。

3. 错解题与正解题类比

为防止学生出错，很多老师都会用错解题与正解题进行类比，目的是让学生关注易错点，提高解题的正确率。

例：计算（2x+y-z+10）（2x-y+z+10）。

错解：1）（2x+y-z+10）（2x-y+z+10）=[2x+（y-z+10）][2x-（y-z+10）]=4x2-（y-z+10）2。

分析：平方差公式简记式为：（前+后）（前-后）=前2-后2。 “前”面完全相同，“后”面互为相反数。观察两个括号中，2x与10是相同的部分，y与-y、-z与z都互为相反数，分组结合后才可以利用平方差公式。错解主要原因是在添括号时发生符号错误，本题目的是让学生关注添括号时要注意变号。

正解：1）（2x+y-z+10）（2x-y+z+10）=[（2x+10）+（y-z）][（2x+10）-（y-z）]=（2x+10）2-（y-z）2=4x2-y2-z2+40x+2yz+100。

三、结束语

总之，应用类比法教学，教师要多了解学生，注意发现题目中的关键信息，然后根据这个靶问题寻找类比源，让新知识低坡度地呈现在学生的面前。对于学生不可能解决或很难解决的问题，教师要根据具体情况，联系类似题型进行必要的答复和揭示。

参考文献：

[1]邹丽萍.类比法在中学数学教学中的应用[J].大连教育学院学报，2015（04）.

[2]马波，邓文红，张晓东.类比——中学数学有效教学的重要方法[J].数学通报，2013（09）.