有关含参变量反常积分的推广与应用的探讨

孟彦廷， 杨 霞， 孟 渝（1．天津大学建筑工程学院，天津00000； ．重庆交通大学，重庆400074；．重庆工业职业技术学院，重庆400050）



有关含参变量反常积分的推广与应用的探讨

孟彦廷1，2， 杨 霞2， 孟 渝3
（1．天津大学建筑工程学院，天津300000； 2．重庆交通大学，重庆400074；3．重庆工业职业技术学院，重庆400050）

［摘 要］几乎所有的数学分析教材都给出二次含参变量反常积分的积分次序交换公式，但同时对该公式适用的条件都较为严苛，因此该公式的实际应用受到限制．本文对含参变量反常积分概念的拓展分析．证明出该公式可以在更广泛的条件下使用，并介绍了它的典型应用．

［关键词］反常积分；收敛；积分次序交换

1　引 言

在数学分析教材［1－3］中对公式的条件要求是

（i）f（x，y）在［a，＋∞）×［c，＋∞）上连续；

2　推广与证明

定义1 设f（x，y，z）在x∈［a，b］（或x∈（a，b））以及y，z分别在y0，z0的某个去心邻域中有定义，如果存在函数g（x），当x∈［a，b］（或x∈（a，b））使对任意ε＞0，存在δ（ε），当时，

如果f（x）在（A，B）的任意内闭区间上可积，无论A，B是否为f（x）的奇点（瑕点），当A＜A′＜B′＜B时，若存在，则它可记为这是因为，若A，B为f（x）的奇点，表示f（x）在（A，B）内的反常积分，若A，B非f（x）的奇点（即可证明f（x）在［A，B］上可积），则在上连续，即

因此作以下定义．

定义2 设［A′，B′］为（A，B）的任意内闭区间，对于任意固定y∈（b，b′），z∈（c，c′）（或y∈［b，且以下类似情况相同），f（x，y，z）在x∈［A′，B′］上可积，并且存在，如果对于任意ε＞0存在η（ε）＞0，对于任意y∈（b，b′），z∈（c，c′），当A＜A′＜A＋η，B＞B′＞B－η时，

正如前面所述，对于x＝A（或x＝B）对于所有考虑的y，z值，无论是否为函数的奇点，定义2依然适用，若x＝A，x＝B均为奇点，则称关于一致收敛．特别是，B为＋∞，则称一致收敛．

引理 设（i）对于属于y0和z0的某个去心邻域（分别记为η1和η2）中任意固定y和z，f（x，y，z）在x属于（a，＋∞）的任意内闭区间中可积，而存在（x＝a可以是奇点），并且分别在关于y0和z0的该邻域内一致收敛于在（a，＋∞）上内闭一致收敛，

则

（ii）

存在，并且

证 由条件（i），对于任意ε＞0存在η（ε）＞0，A0（ε）＞a＋η（ε），使y和z属于y0和z0的某个邻域时，只要a＜a′＜a″＜a＋η，A″＞A′＞A0，则

成立，现在固定a′，a″，A′，A″，再由条件（ii），存在δ（ε）＞0，使当δ时，

类似于上式，也可证明

综上所述，可得

故该引理得证．

推论 如果f（x，y，z）在（a，＋∞）×［b，b′］×［c，c′］上连续 在y∈［b，b′］，z∈［c，c′］上一致收敛于

在［b，b′］×［c，c′］上连续，而且对于二元函数f（x，y）在类似条件下仍然有相同的结论，即，则

在［b，b′］连续．

注 由定义2可知，这里x＝a可以是f（x，y，z）（f（x，y））的奇点．

3　结 论

定理 设（i）f（x，y）在（a，＋∞）×（b，＋∞）上连续；

证 设b＜b′＜B，a＜a′＜A，由条件（i）和前述引理的推论可知在［b′，B］上连续，即存在，且

由条件（ii），对于任意ε＞0，存在η（ε）＞0，当a＜a′＜a＋η时，

类似地，存在A0（ε）＞0，当A＞A0时，

即

分别在（a，＋∞），（b，＋∞）内闭一致收敛．若f（x，y）在（a，＋∞）×（b，＋∞）为非

故该定理得证．

注 特别是x＝a，y＝b均为f（x，y）的奇点时，上述定理的条件（ii）可改写为负连续函数，条件（iii）可改写或存在，以上结论依然成立．

4　应用举例

以上定理可直接用于Beta函数与Gamma函数的关系公式证明中．

例 证明Γ（a＋β）B（a，β）＝Γ（a）Γ（β）．

证 当a，＞0时，

令s＝a＋β，A＝1＋t代入（2），

将（3）式两端乘ta－1后对t在［0，＋∞）积分，得

令

则f（u，t）在（0，＋∞）×（0，＋∞）连续且非负，设B＞b＞0，u∈（0，＋∞），当a＞1时，t∈（b，B）时，

当0＜a＜1时，t∈（b，B）时，

［参 考 文 献］

［1］ 欧阳光中，朱学炎，金福临，等．数学分析（下册）［M］．3版．北京：高等教育出版社，2007：243－264．

［2］ 常庚哲，史济怀．数学分析教程（下册）［M］．北京：高等教育出版社，2003：335－380．

［3］ 同济大学数学系．高等数学（下册）［M］．6版．北京：高等教育出版社，2007：176－181．

Discussion in the Popularization and Application of Parameter Improper Integral

MENG Yan－ting1，2， YANG Xia2， MENG Yu3
（1．School of Civil Engineering，Tianjin University，Tianjin 300000，China；2．Chongqing Jiaotong University，Chongqing400074，China；3．Chongqing Industry Polytechnic College，Chongqing，400000China）

Abstract：Almost all mathematical analysis teaching materials give quadratic formula of exchange sequence of integral depending on a parameter improper integral．But at the same time，the applicable conditions of the formula are harsh．The practical application of this formula is limited．In this paper，we analyze the development of the concept of parameter improper integral．Finally，it proves that under the condition of a wide range of the formula，and introduces its typical applications．

Key words：improper integral；convergence；exchange integral order

［收稿日期］2015－05－14

［中图分类号］O172

［文献标识码］C

［文章编号］1672－1454（2016）01－0083－05