理工科高层次人才随机数学教学的探索与设计

李楚进， 王湘君（华中科技大学数学与统计学院，武汉430074）



理工科高层次人才随机数学教学的探索与设计

李楚进， 王湘君
（华中科技大学数学与统计学院，武汉430074）

［摘 要］注重交流借鉴，依托教学积累，探讨在高层次人才随机数学系列课程教学中，进行课程系统设计，对多种资源和模式优化配置，引导学生掌握现代随机数学的思想和方法；结合当前科学研究的前沿重大问题以及工程实际应用，增强其自主创新实践能力和应用拓展能力．

［关键词］高等工程教育；随机数学；课程教学；探索与设计

1　引 言

现代随机数学问题已成为科技发展的主流前沿问题之一，随机数学的理论与方法也已成为信息时代最重要的数理支撑．其实，随机现象是科学的本性．随机数学是观测和研究随机现象的有效的认识论和方法论工具，有主动创新的辽阔领域．哈佛大学前校长陆登庭曾说过，新世纪最好的教育是有利于人们形成创新性思维品质，使人们更善于思考，更有追求的理想和洞察力．这对改革和加强理工科高层次人才随机数学教学提出了迫切的新要求：通过随机数学系列课程教学，培养学生能结合专业背景并注重交叉融合，从而灵活运用随机数学的理论思想和方法去观察、分析、解决问题；培养学生对数据的兴趣与敏感度，并提高建模分析、解释数据的能力．这也是高层次科技人才培养的重大时代课题．

大数据时代已经来临！它将改变人们的认知、生产、生活方式，开辟人类知识发现、科技创新的广阔天地．可以毫不夸张地指出，掌握大数据建模、分析的理论和方法，已经成为对高层次科技人才科学素养的新要求．这也必然带来理工科高层次人才教育中有关随机数学课程体系建设，以及课程设置、教学方式与方法的全新变革．我们应审时度势，不失时机地从战略高度对我国理工科高层次人才教育中随机数学系列课程的教学思想与实践，进行系统设计，并即刻融入到教学各环节，逐渐充实、完善，确保我国的高等工程教育能有新平台、新高度．为此，我们尝试对随机数学系列课程进行优化配置，努力建设高水平的随机数学课程体系．

2　课程体系的创新建设

2．1 建设和优化增强学生随机数学建模能力的课程体系

复杂性科学通常表现为非线性与随机性，以随机动力系统为架构的建模问题普遍存在于物理、化学、材料学、金融学、生物生命科学、人文社会科学等领域．比如：大气海洋环流的发展、非线性波在随机介质中的传播、环境与生态系统的演化、生命系统的解读、风险资产的评估、社会非传统风险的管理、复杂机械与网络系统的智能设计与控制等．其中的状态不可测问题、非线性滤波问题、多样化噪声驱动问题以及变化的多尺度问题等，对复杂系统建模提出了全新的挑战．我们通过广泛深入的调查研究和前期的教学实践，确立了以随机分析与随机动力系统为基石，以现代随机过程理论、随机滤波理论和现代统计理论为支撑，面向当前科技前沿重大问题的随机数学建模基础课程体系．以随机动力系统为统领，对概率论、数理统计、随机过程、随机（偏）微分方程等课程进行优化设计、模块配置、应用驱动、学科融合，形成了系列课程．在教学过程中，力求既注重基本思想与方法，加深体悟；更注重建模实践应用，加强自主创新训练，以适应大数据时代科技发展的新要求．

2．2 构建以现代统计、计算机科学、信息科学等相融合的适应大数据建模分析的教学平台

随机数学的大量问题都涉及现代统计理论与方法，大数据建模又与计算机科学、信息科学密切相关．计算机科学、信息与互联网技术等众多高新技术使人类社会快速进入数字时代．现代通信技术彻底改变了人们的交流沟通方式与信息发布、获取的方式．政府的管理形式、企业的经营模式、商业的运营方式、经济金融的交易手段都以崭新的面貌出现．生命科学领域的物组学、系统生物学、信息生物学的成长，使得人们对生命现象与复杂疾病的解读，以及创新药物的研发路径都有了全新的认识．种种这些变化都关联大数据，而其高维、异质、快变的特点从根本上区别于传统统计学研究的数据特征．我们关注大数据相关问题，以现代统计理论与方法为统领、以知识发现为驱动、以实践创新为目的，整合数据挖掘、统计学习、模式识别、通信物联等方面的新知识，构建出适合大数据建模、分析与应用的随机数学课程教学平台．逐步摸索实践，实现统计学、计算机科学、信息通信等学科的有效交融、互动互补，增强培养对象对大数据的建模、分析及应用能力．

2．3 强化教学实践环节，构建统计软件学习与开发，统计计算与模拟仿真并重的课程体系

计算机科学技术的发展与统计软件的开发和应用是大数据背景下随机建模、分析与应用的有效途径．我们对计算机科学技术、统计软件、统计计算、统计模拟中有关数据采集、存取、传输、检测、可视化、仿真等知识进行整合，建设随机数学教学实验室，开设SAS、R、SPSS等软件应用课程；建设统计软件学习与开发，统计计算与模拟仿真并重的课程体系，提高培养对象对大数据问题的实际分析处理能力．

3　课程教学模式的有效尝试

考虑到理工科高层次人才不仅有一定的科学训练基础，也有相关的专业课题背景，这对如何有效实施《应用数理统计》、《随机过程》、《回归分析》、《现代统计分析》等随机数学课程的教学提供了很好的支撑，也有如何实现创新培养模式的挑战和机遇．这里，结合我们随机数学课程团队的教学实践，探讨在理工科高层次人才随机数学系列课程教学中的若干模式，以实现引导研究生承袭思想和方法，并结合现实问题的背景而善学睿思，增强其自主创新实践能力．

3．1 讲授式教学，实现问题驱动

研究生是有目的且积极主动的学习者，教师是主要辅导者．教师讲授应能使深奥、抽象的知识变的具体形象、浅显通俗，被学生理解并能引起思考．因此，我们认为在讲授时要善于发现问题，注重启发性和趣味性，注重逻辑体系以及整体框架思路等．开放式教学，不能停留于解答当前或者片面，不能过于重视数学公式和推导，要引导学生一起思考为什么可以这样，还能怎么样，不能怎么样等！

特别要考虑对抽象的概念与数学法则的讲解．概念是思维的基本单位，是思维的出发点和结晶，是判断和推理的要素．数学法则是由经验总结而得的规律和方法，是判断和推理的准则．要想理解、运用甚至构建新的概念与法则，教师的讲授很关键，要讲出直观意义与应用变化．需要总结提炼多学科的相关知识，更要注意深度和广度；注重统计思维训练．引导研究生通过思考，超越形式的知识与感性经验而体悟出概念与法则所承载的最为可贵的本质内涵，灵活应用．当前的大数据时代，更应注重培养高层次人才对数据的广泛兴趣与敏感度，提升其对相关概念和准则的理解，使其能运用随机数学的思想和方法灵活地分析处理数据．

比如，统计量是样本的不含未知参数的可测函数．其实，也就是可由因即果，也可由果溯因的不含其它不确定因素的样本信息加工器．讲解时应关注“不含未知参数”、“可测函数”这些关键词，解释“规则”，指出统计量的本质，并启发可根据实际需要或问题背景构建很多新颖的统计量来加工数据．这里更应强调，人们构建有价值的统计量时要能体现某种统计思想，不能太任性．强调统计思想、基本准则是至关重要的，是统计推断的灵魂．这也使得随后学习抽样分布更有效率，有利于今后灵活运用恰当的统计量来实施估计和假设检验．

又比如，由数据集构建数据空间需要满足非负性、齐次性以及三角不等式等基本准则．这是经验规律的总结，其实很多场合也都有类似的准则要求．讲授时应指出这些抽象的准则意味着什么，增加或减少有没有意义．帮助研究生理解当前框架体系的基础，启发研究生在实际问题中总结规律、抽象并建立新框架、新模型等．

3．2 案例式教学，引导研究尝试

案例教学法起源于上世纪20年代，由美国哈佛商学院倡导，当时是采取一种很独特的教学形式，所选案例都是来自于商业管理的真实情境或事件，通过此种方式，有助于培养和发展学生主动参与课堂讨论，颇具绩效．这种以案例为基础的教学法，没有特定的解决之道，教师在教学中扮演着设计者和激励者的角色，鼓励学生独立思考，引导学生变注重知识为注重能力．

对于有专业背景的理工科高层次人才而言，他们关注的是如何用随机数学的思想和方法去有新意地解决实际问题．基于案例，高层次人才能体验如何将随机数学的思想和方法付诸实施；基于背景和实际数据，高层次人才能理解如何选择不同的统计方法解决不同的实际问题．激发其学习的主动性和趣味性，这更适合高层次人才的探究习惯，使其能深入领会随机数学思想和方法．

比如，区间估计和假设检验中随机变量ξ的分位点qε的P（ξ≥qε）＝ε，∀0＜ε＜1的刻画与应用，是十分重要且变化多样的．事实上，要着重指出分位点的本质含义就是临界点，其实就是根据实际要求所考虑的特定小概率事件所对应的区域刻画．可以介绍一些如何估计分位点的文献和实例，以及基于分位点的回归模型等．这使得研究生可准确地把握分位点的统计性质，以便将来可灵活应用于科学与工程中的估计和检验问题等．

又比如，考虑确定性的Gompertz增长模型刻画肿瘤细胞密度变化

这里xt表示t时刻肿瘤细胞密度，A和B表示细胞增长和衰亡率．其实随机建模应该更贴切，

这里引入布朗运动Wt刻画随机影响；为更细致准确地描述肿瘤细胞密度变化，还可研究随机模型

这里引入非高斯α稳定过程Lαt刻画随机环境．基于此案例，可拓展对布朗运动与稳定过程的理解，引导研究生体会随机建模技巧，开展类似问题的研究尝试；还可以利用统计软件对模型进行模拟和仿真分析，更鼓励针对模型做实证分析．

现在很多方面的案例资源都丰富多样，所以在选择和设计案例时，不能简单照搬，粗暴评判．要求案例能结合高层次人才的专业背景，社会热点或者是前沿问题等，要能体现多种思想和方法的应用，要根据课程内容及时调整更新．我们认为在案例教学中，介绍历史文化、逸闻趣事、社会时事对分析案例是大有裨益的；教师的激励、点播以及必要的课外练习与实践要求，更能帮助高层次人才获得加强和提升．

也可以考虑用学生准备的案例开展教学，其实准备案例就是相应思想和方法的应用体现．比如，在教学回归分析，实验设计等内容时，可考察研究生在准备案例时如何收集数据、整理数据、选择模型、模型拟合、模型论证以及对实际问题的解释说明等．

3．3 研讨式教学，激发创新思维

研讨式教学法源于早期的德国大学，现已成为研究生培养最有效的方法之一．它是以问题为中心的教学方式，通过教师创设问题情境，然后师生共同查找资料，讨论、研究、探索并提出解决问题办法的方式，使学生掌握知识并增强研究能力，教学相长．研讨式教学要求教师以“导”为主，要求教师对核心问题有全面、深刻、独到的见解，要求熟悉学生原有的知识基础和能力水平，并启发其提出有思考价值的问题．

然而，随机数学课程大都是对理工科研究生开设的公共课，班级中人数多且专业背景多样．这使得在开展研讨式教学时，能否恰当地分组，有效地控制课程节奏成为首要问题．一般来说，相近专业的十二三个同学分为一组是比较恰当的，有时跨专业分组也是一种很好的尝试．关键是小组研讨的组织与实施，而且师生在课外较为充足的资料准备是必要的．否则，会流于形式或者陷入尴尬．我们认为，首先要营造和谐、平等、开放的氛围；其次教师的“先导”问题要有启发性、趣味性，能结合科学与工程前沿，结合社会热点问题等．进而，引导学生围绕某一主题主动地分析、讨论，能发现新问题也好，能应用所学解决问题更好．

比如，分析并讨论如何应对回归模型的多重共线性问题．考察教材上关于岭回归估计、主成分估计、Stein压缩估计等构建的思想和本质特点，结合文献研究和应用实例，探讨还可以如何施加恰当约束条件从而改进模型参数估计的稳定性和有效性等？是基于什么样的统计思想，并要求给出合理的数理解释？有现实问题对应么，能否给出合理的背景解释？又比如，讨论随机序列的各种收敛性之间的关联，以及在实际应用中该如何区分并选择这些收敛性描述问题？对某些特定系统，若随机源由高斯的改为非高斯的，由马氏的改为非马氏的会有什么意义，会引起什么样有趣的问题？

我们认为，应充分结合多学科交叉融合的观点、趋势以及前沿问题等牵引学生，引导学生关注实际问题、开阔视野、追踪相关学术前沿动态，进而使知识传授过程成为培养研究生掌握研究方法、开发智慧的过程，也有利于研究生形成自主探索的良好意识与习惯．

3．4 实践与创新多样化教学模式

当然，在理工科高层次人才随机数学系列课程教学实践过程中，不能拘泥于某种或某几种教学模式，更应该兼顾教学内容、学生背景、前沿与热点等多方面特点，考虑多种教学模式的实践与创新．比如还有：模拟教学法、业务演习教学法、读书指导法等．同时，更要注意多多虚心学习，多多交流合作，注重教学相长．

比如，《随机过程》中Markov链的一个典型问题：赌徒输光问题．设甲乙两个赌徒对赌，共有赌本N元，每局甲获胜的概率为p，乙获胜的概率为q＝1－p，获胜方赢得1元钱，若有一方输光则赌博结束．若最初甲有i元钱，问他最终获胜的概率？通过讲授，解释相关概念并描述问题情境，理清该问题本质上是一个带两个吸收壁的有限状态随机游动问题：一个质点在整数点0，1，…，N上做随机游动，从1，2，…，N－1出发下一步向右移动一格的概率为p，向左一格的概率为q，若移动到0或者N，则永远停留下去．

随后，引导问题分析，讨论解决方案：由于是有限状态Markov链，状态0，N是两个吸收态，赌博一定会在有限的时间结束．通过建立Chapman－Kolmogorov（CK）方程，可以推导出甲最终获胜的概率为

进而，教师还可以提出如下问题供研究生研讨：pi关于i单调增吗？对于pi的影响，i和p哪个更重要？在什么条件下存在？赌博平均可以进行多长时间？更进一步，教师可以举例启发学生思考Markov链在各自专业领域的应用问题，提示、鼓励并指导后续的文献阅读，支持结合背景的问题探究，维护连续性的交流与合作．

4　结 语

大数据给我们带来了前所未有的创新空间，我们一定要不负历史和时代的重托，面向未来、勇于创新实践，构建大数据时代下理工科高层次人才教育中科学、合理、有效的随机数学课程体系．在理工科高层次人才随机数学系列课程教学实践过程中，要了解高层次人才的基础和专业背景，熟悉随机数学的学科前沿，融合大数据时代特点，以问题为驱动来实施理工科高层次人才随机数学系列课程教学，努力培养有坚实数理基础并能独立思考、自主创新的高层次人才．

注 王湘君为通讯作者，Email：xjwang＠hust．edu．cn．

［参 考 文 献］

［1］ Gorroochurn P．Classical Problems of Probability［M］．New Jersey：John Wiley ＆Sons，2012．

［2］ 刘超，吴喜之．统计教学面对的挑战［J］．统计研究，2012，29（2）：105－108．

［3］ 刘素辉．国外统计教学方法的简况与发展趋向［J］．统计与决策，1996（11）：45－46．

［4］ Ross S M，龚光鲁（译）．应用随机过程：概率模型导论［M］．10版．北京：人民邮电出版社，2011．

［5］ 苏志武．深化课堂教学改革提高人才培养质量［J］．中国高等教育，2012（17）：10－14．

［6］ 王星，等．大数据分析：方法与应用［M］．北京：清华大学出版社，2013．

［7］ 王启华，史宁中，耿直．现代统计研究基础［M］．北京：科学出版社，2010．

［8］ 杨虎，等．应用数理统计［M］．北京：清华大学出版社，2006．

［9］ 杨叔子．思维是关键关键在超越［J］．高等工程教育研究，2005（2）：12－15．

［10］ 袁卫，刘超．统计学：思想、方法与应用［M］．北京：中国人民大学出版社，2011．

［11］ 章国华，等．数理科学若干领域进展［M］．北京：科学出版社，2011．

Some Explorations and Designs on Teaching of Random
Mathematics for High－Level Personnel of Science and Technology

LI Chu－jin， WANG Xiang－jun
（School of Mathematics and Statistics，Huazhong University of Science and Technology，Wuhan 430074，China）

Abstract：Relying on the communication，study and accumulation in the teaching process of random mathematics for high－level personnel of science and technology，it is intent to discuss how to design and deploy diverse materials and modes systematically，to guide students during the whole teaching process to understand concepts，methods and thinks of modern random mathematics，to grasp methods and apply them to solve particular problems corresponding to scientific frontier and engineering practice，and to cultivate the abilities of thinking independently and self－innovating．

Key words：higher engineering education；random mathematics；teaching methods；exploration and design

［基金项目］教育部留学回国人员启动基金资助（20130582）；华中科技大学自主创新基金项目（2013QN171）；华中科技大学教改基金项目（2013070；2015068）

［收稿日期］2015－10－12

［中图分类号］C829；O212

［文献标识码］C

［文章编号］1672－1454（2016）01－0061－05