换颗心整个世界就变了——兼评张聪聪、陆旭芳两位老师《负数的认识》一课

刘 松（特级教师）

按照学校校本研训的传统惯例（第一学期相对集中教师活动，第二学期相对集中学生活动），2016学年第一学期刚刚开学，第十二届“文海之星”教学比武活动就轰轰烈烈地开始了。为了充分发挥学校九年一贯制办学的优势，加强中小学衔接及学科整合，集团师训中心发出了“中小学老师同上一节课”的倡议，笔者甚感兴趣。数学组有两位老师不约而同地选择了《负数的认识》一课，如此一节可谓被研究透了的课，两位老师又会有怎样的创新和突破呢？带着问题和好奇心，笔者参与了两位老师从定好选题到最终课堂展示的全过程。

张聪聪老师是一位工作还不到三年的小学老师，虽然年轻，但有着省级优秀大学生背景的她，不仅教学基本功扎实，而且教学研究也颇有套路。为了充分了解学情，抓准教学的起点。课前，她专门组织了随机抽样测试，测试对象为本校80名五年级学生，具体数据如下。

由前测分析情况可以发现，本校五年级的学生对于正负数的写法，基本上已经掌握。但关于正负数是一对相反意义的量，学生的理解不深刻，在用自己的话说说什么是负数时，没有一个学生从相反意义的角度解读。在数轴上找数，接近三分之一的学生有困难。关于“0”的归属问题，更是学生的难点所在。

前测内容 前测情况分析1.请写出三个正数和三个负数。78人正确写出正负数，但一律写的是正、负整数，占97.5%；1人只写出正整数；1人写了正整数和正小数。2.如果向东走5米记作+5，向西走10米记作（ ）。71人正确填写出负数，占88.75%；5人未填；4人填了正数。3.请你在数直线上找 出 0.5、-1、-1 2和-3.5。65人正确在数轴上找出各数，占68.75%；25人找不出负数的位置，占32.25%。4."0"是正数还是负数？17人认为“0”既不是正数也不是负数，占21.25%；61人认为“0”是正数，占76.25%；1人认为“0”是负数；1人填写“不知道”。5.用自己的话说说什么是负数。69人认为负数是比0小的数，占86.25%；6人认为负数是带“-”的数；3人认为负数是小数减大数产生的；2人填“不知道”。

好教师不仅要读懂教材，还要读懂学生。优质教学的前提是优质的教学供给，而优质教学供给的前提则是教与学的针对性，即教学是否真正满足了学生的需要，也就是否真正关注了学生学习中的难点、易错点及困惑点等。试想，教师若只是照本宣科，或者仅是从自己的角度出发，讲的都是学生已知的，学生真正困惑和需要帮助的却不提及，教学何谈有效，更谈不上优效。从此意义上回看张老师的教学，教师在课堂上使力的方向十分明确，加之其充分关注到了学生的年龄学习特征，大量使用课件直观演示，激活了学生丰富的生活经验，教学效果还是不错的。正如她在课后交流中所言，本节课选取了学生熟悉的并与生活息息相关的情境，整堂课紧紧以“-3”为抓手。在探究意义的环节，首先从四个不同情境中引出“相反意义”；接着从小试牛刀的练习中突出“相反意义”；再从追问中强化“相反意义”；最后小结提升“相反意义”。随着教学一步步地展开，加深了学生对负数意义的理解，凸显了负数的本质——是作为与正数相反意义的量而存在。同时，巧妙地把温度计旋转并抽象为数直线，更加深了学生对负数的直观印象。在练习环节，有意增加盈亏问题，渗透了负数的计算，进一步让学生体会到负数与生活的密切联系。如此教学，既开放又聚拢，简约但不简单。不仅突出了负数的数学本质，而且尊重了学生的认知起点。所以，好的教学关键是要在如何教才能更有利于学生学的层面上做出有针对性的突破。

但若细细品味张老师的教学，则不乏别人（尤其是名家）的影子。对年轻教师而言，此无可非议，甚至是必需的。但从个人专业发展的长远角度看，若能在继承与发扬的基础上，再有适当光大与创新，可能就更好了。在她的课后反思中，这一点她自己似乎也略有省悟。

陆旭芳老师则是一位有着多年初中教学经历的资深教师。从课前慎思、课堂实录及课后反思中，我们可以清晰地感觉到陆老师身上明显的中学老师烙印——密度大、题量多、难度深等。由于长期在九年一贯制学校工作的缘故，经常听到许多初中部老师抱怨，听小学老师的课感觉太不过瘾了，究其原因就是小学老师的课堂难度系数太低，信息量偏少。当然，这不是小学老师的错，是学生年龄特点及接受程度使然。由于中考指挥棒及压力的存在，初中教师当然要更多地考虑难度、密度、深度等问题，这绝不会仅仅表现在陆老师一个人身上。

笔者经常跨中小学部听课，对此现象总结了一句口头禅：小学老师若不听中学老师的课，不知道自己是多肤浅；中学老师若不听小学老师的课，不知道自己是多死板。所以极力呼吁若有可能，中小学老师要经常互相听课，尤其小学中高段与初中部教师。事实上，张聪聪老师课中绝对值的意义、相反数的概念及负数没有最大及最小的极限思想的渗透等，就是在听了陆老师的试教课后，受到启发后改变的，从而使教学在浓浓的生活气息中，平添了些许数学的味道。当然，陆老师的教学一点也不死板，不仅密度大、题量多，甚至把中考题都搬进了小学课堂，难能可贵的是，“学为中心”的教学理念在她的课堂上也得到了较好的体现。其中，课的核心板块——解读负数的意义，基本上都是由学生自主完成的。笔者非常欣赏陆老师说过的三句话：既不能浅尝辄止，也并非要冰冻三尺；既不能相对简单，也不能过于复杂；既不能流于形式，也不能丢失本质……是面对六年级学生教学负数时应该注意的问题。从这三句话就可以看出，陆老师课前也在思考教学的针对性问题，而且思考地相对更深、更广、更适切。

陆老师不愧为中学教师，能以相对较高的视点审视小学数学。对于负数的产生，许多小学教师的做法是，仅仅从相反意义量的角度解释。整节课往往从相反意义量开始，又在相反意义量中结束。相反意义量当然是重要的，甚至怎么强调也不为过。但反观数学发展的历史，相反意义量并非说明负数产生的唯一或全部，其产生还与解方程相关。笔者最最欣赏的，是陆老师课的开始及结尾设计，以列方程解决实际问题为背景，从数系扩充的角度引入并结束，不仅使整节课首尾呼应、浑然一体，更重要的是，本节课学生收获的不只是负数的知识，还学会了从知识发生的本源处思考问题，继而会用发展的眼光看待数学，自然也就深刻理解了数学，顺带还学会了学习。学生以后再遇到一个新的数的概念，可能就会自我追问：为什么又要产生新的数啊？原来的数系怎么又不够用了？新数的概念是从什么角度思考的？……试想，学生若能人人如此，教学的价值岂不最大化矣！

哲人说：树有多高，影子就有多长。最亮眼处往往就是盲区。陆老师课的引入就是“56-58”的问题，若能在结束时从加减法封闭性的角度多提一句，在没有引入负数的概念时，减法是不可以像加法一样具备封闭性的，引入负数后，减法就和加法平起平坐，也具备了封闭性（任意两个数都可以互相相减）。如此，本节课的数学味道就会更上一层，其意义可能比那几道简单的中考题要大得多。

在两位老师磨课期间，笔者也随机采访了一些学生，发现部分聪明（或家教比较好）的小学生，甚至在一二年级，就知道3-4等于-1，但追问-1表示什么意思，却都说不清。其实，这一点都不能怪学生。关于负数的合理性问题，甚至一些大名鼎鼎的世界级数学家一开始都是不接受的，比如帕斯卡认为从0减去4是纯粹的胡说，帕斯卡的朋友阿润德还提出一个有趣的说法，来反对负数，他说（-1）：1=1：（-1），那么较小的数与较大的数的比怎么能等于较大的数与较小的数的比呢？直到1712年，连莱布尼兹也承认这种说法合理。就在一百多年前，英国重量级的数学家——德·摩根，还说负数是荒唐的数。他特意举了一个例子：“父亲56岁，他儿子29岁，问几年后父亲的岁数是儿子的两倍？”通过列方程解得x=-2，他认为这个结果是太荒唐了！即便如此，这一点也不影响这些大数学家在数学史上的贡献及美誉度。其之所以不接受，是受思维定势及局限所致。当我们把0的意义只理解为代表什么也没有时，从0减去4当然就是纯粹的胡说。笔者查阅了大量相关的教学设计与实录，发现许多老师也这样问学生：0代表什么也没有，怎么可以减4呢？殊不知，如此设问，恰恰把学生带进了迷魂阵。试想，连一些世界级大数学家都理解不了的问题，让小学生怎么可以解释得清楚。

随着两位老师不断的试教，笔者也燃起了走上讲台的热情，决定亲自尝试。当然，除了学习借鉴以上两位老师及众多老师的优秀做法以外，笔者最最关心的有一点，就是如何让学生彻底明白负数的合理性。受自己上《分数的意义》时突破单位“1”（离散量的集合）认知的设计启发，当问学生1加1等于几时，学生无一例外都说是2，当然正确，且永远正确。但当转换思考问题的角度时，1加1还等于1，在数学上也是成立的，如何理解？当学生能想到诸如一块橡皮泥加一块橡皮泥、还是一块橡皮泥等例子时，对离散的量的整体也可以看作是1的意义就不言自明了。既然如此，负数的认识为什么不可以从0切入呢？当我们不把0只看作无，而是转换角度，0还可以代表有，而且是真实的存在时（诸如起点、分界点等），那么，负数的合理性是否就更容易理解了呢。实践证明，如此教学，学生理解起来顺畅多了。事实上，对于0的“有”的意义的理解，不仅小学生容易忽视，虽然他们经常使用尺子（各种尺子上几乎都有0起点的标示），我们成人可能也不例外。今年暑期，笔者带家人到法国度假，在巴黎住酒店时，期间好多次拿着房卡跑错楼层，不仅是我们这些中国游客，甚至负责开车的意大利司机也不例外。原因就是酒店的楼层设置与国内不同，国内一般是不设0层的，而在巴黎，0层是真实的存在，这让我们这些中国游客一开始很不适应。出于职业的习惯，笔者当时就想，如果整个欧洲的酒店楼层都是如此设置，那么学负数时，也许西方的孩子可能比中国的孩子理解起来会容易些，可他们的上述先辈们咋就那么“糊涂”呢。

贯通 0“无”和“有”的两种意义，还有一个更大的好处，那就是对本节课难点的理解。通过大量前后测数据分析及学生访谈可知，本节课的最难理解之处就是0的归属问题。可能是受自然数包含0的影响，许多学生总认为0是正数，即便是有些学生知道0既不是正数，也不是负数，但当追问他们为什么（或怎么理解）时，他们却大都说不清理由。笔者在试教时，一位学生给出了精彩的回答：在数直线上我们可以清楚地看出，有+5就会有-5、有+3就会有-3、有+1就会有-1……正数和负数总是成对出现的，而0则不然。假如有+0，在数直线上就是从0起点开始，向正方向（右）移动0个单位长，而0个单位长就等于没有，也就是没动，还在原地；同理，假如有-0，在数直线上就是从0起点开始，向负方向（左）移动0个单位长，而0个单位长也等于没有，也就是没动，也还在原地。+0、-0都还是它自己，所以，0既不是正数，也不是负数。在落实深度学习获得广泛共识的当下，如此教学，是否比仅仅说0就是分界点（分界线）要更进一步呢。

哲人说，作为凡人的我们，改变不了世界，但可以改变自己。只要换颗心，整个世界就变了。教学又何尝不是如此呢？“不识庐山真面目，只缘身在此山中。”当我们能尝试从多角度观察、思量并能做到融会贯通时，解决问题的曙光自然就会出现了。