基于分形和岩心核磁共振的流体相对渗透率计算方法

袁春, 王洋, 葛新民

(1.中国石油长城钻探工程有限公司测井公司, 辽宁 盘锦 124010;2.Department of Earth and Atmospheric Sciences, University of Houston,Houston, Texas 77054, USA;3.中国石油大学地球科学与技术学院, 山东 青岛 266555)

0 引 言

岩石孔隙中多相流体的相对渗透率对储层的流体识别、油藏数值模拟、产能评价及开发方案设计等具有重要意义。Purcell[1]建立了岩石相对渗透率与毛细管压力的关系;Burdin[2]考虑了束缚流体饱和度的影响对Purcell模型进行了改进;Corey[3]通过毛细管压力与饱和度的关系得到了相对渗透率与饱和度的公式;周克明等[4]通过毛细管压力曲线测定建立孔隙结构分形模型,并利用分形模型计算了气水的相对渗透率;Li[5-6]系统地研究了相对渗透率与毛细管压力、电阻率增大率之间的关系。越来越多的研究表明,流体的相对渗透率除受到饱和度的影响,还与孔隙结构及流体渗流特征有关。岩心核磁共振实验是岩石物理学家进行孔隙结构分析和定量表征的主要方法之一,可以得到岩石的孔隙度、渗透率、孔隙分布形态、束缚水饱和度等参数。本文从岩石孔隙结构的分形特征出发,并结合渗流场与电流场的耦合性及Brooks-Corey/Burdine模型,试图建立流体相对渗透率与核磁共振横向弛豫时间的关系,并开展岩石物理实验对模型进行分析。

1 岩石孔隙分形理论及导电特征

研究表明,沉积埋藏而成的岩石孔隙空间具有分形的特征,岩石中含水饱和度和电阻率的关系为[7]

(1)

式中,Rt为岩石的电阻率,Ω·m;Sw为含水饱和度,小数;Df为岩石孔隙的分维数,无量纲;f为与水膜厚度和界面张力有关的指数,无量纲。

根据分形和毛细管压力理论可以导出含水饱和度与毛细管压力的关系,其表达式为

(2)

式中,pc为毛细管压力,MPa。

由式(1)、式(2),并根据阿尔奇公式可得

pc=p0If

(3)

式中,p0为岩石100%含水时的毛细管压力,MPa;I为电阻率增大率,无量纲;f为与水膜厚度和界面张力有关的指数,无量纲。

由核磁共振弛豫机制及毛细管压力的原理,对于简化成球状或柱状管道的岩石孔隙介质,其比表面与孔径成线性关系,毛细管压力与T2分布之间的关系可以表示为[8]

(4)

式中,c为转换系数,无量纲;T2为核磁共振横向弛豫时间,ms。

实际岩石的孔隙结构比表面与孔径一般呈非线性关系,因此,T2与毛细管压力之间的关系可改写为

(5)

式中,g是一个泛函,其具体形式未知。

何雨丹等[9]通过大量的实验分析研究,认为毛细管压力与核磁共振T2值之间为幂指数关系,则式(5)可以表示为

(6)

式中,m、n分别为转换参数,无量纲。

由式(3)和式(6),电阻率增大率I与核磁共振T2之间的关系为

(7)

式中,a、b分别为转换系数,无量纲。

式(7)是本文实现核磁共振与相对渗透率的核心公式。

2 渗、电场的互等性及相对渗透率的计算

电流的传播和流体的渗流问题在数学物理方法上类似,其边界条件、初始条件和求解方法都具有一定的类比性。Fatt[10]根据电流传播与流体渗流的互等性,将泊肃叶方程与欧姆定律进行了对比分析;King[11]、Li[12]、B.Shimekit和H.Mukhtar[13]也分别分析了电流传播特性与流体渗流特性的对应关系-。根据泊肃叶方程,单相流体通过毛细管状孔隙性岩石的流量为

(8)

式中,Q为流量,cm3;r为毛细管半径,cm;μ为流体黏度,mPa·s;l为毛细管渗流长度,cm,Δp为毛细管两端压力差,MPa。

毛细管状孔隙性岩石的电流传播规律可用欧姆定律表示为

Ec=GΔV

(9)

式中,Ec为电流,A;G为电导,S;ΔV为电势差,V。

根据电流场和渗流场的互等性并结合式(8)和式(9),毛细管模型的宏观电导可写成[14]

(10)

由达西公式可知,单相流体通过毛细管状孔隙性岩石的流量为

(11)

式中,A为毛细管的横截面积,cm2;K为单相流体的绝对渗透率,×10-3μm2。

根据Fatt等[10-12]的研究成果,达西公式与欧姆定律亦存在互等性。对于气水两相系统,由式(8)、式(10)和式(11)可得岩石孔隙完全含水时的电导为

(12)

引入相对渗透率,岩石孔隙部分含水时的电导为

(13)

又因电阻增大率为

(14)

结合式(12)、式(13)及式(14)可得

(15)

根据多孔介质岩石导电规律,当岩石完全含水时,其电阻增大率为1,此时水的相对渗透率也为1,当岩石完全含气时,水的相对渗透率为0,岩石的电阻率增大率应为无穷大。但一般实验现象是,当岩石含水饱和度降至束缚水饱和度时,此时水的相对渗透率就变成了0,但电阻率增大率并非无穷大。因此,为了使式(15)符合实验现象,需对其进行饱和度修正,经饱和度修正后水的相对渗透率为

(16)

式中,Sw为含水饱和度,小数;Swir为束缚水饱和度,小数。

由式(16)可知,经饱和度修正后,当含水饱和度为1时,水的相对渗透率为1,当含水饱和度等于束缚水饱和度时,水的相对渗透率为0,修正后的模型与实验现象一致。

将电阻率增大率与核磁共振T2的关系代入式(16),可得

(17)

式(17)为气水两相渗流过程中水的相对渗透率计算公式。

Burdine[2]对Purcell模型进行了改进,得到了新的相对渗透率模型,可以表示为

(18)

(19)

各相流体饱和度满足物质平衡方程

Sw+Snw=1

(20)

式中,Krw为润湿相的相对渗透率,小数;Krnw为非润湿相的相对渗透率,小数;Sw为润湿相饱和度,小数;Swir为润湿相束缚饱和度,小数;Snw为非润湿相饱和度,小数;Snwr为非润湿相残余饱和度,小数;pc为毛细管压力,MPa。在实际应用中,为了求解方便,通常令非润湿相的束缚饱和度为0。

根据分形理论,毛细管压力与润湿相饱和度的关系为[14]

(21)

式中,pce为岩石孔隙完全含水时的毛细管压力,MPa;λ为系数,无量纲。

将式(21)代入式(18)和式(19),可得

(22)

(23)

式(22)、式(23)称为Brooks-Corey/Burdine相对渗透率模型。对于研究而言,岩石中仅存在气水两相,因此水为润湿相,气为非润湿相。因此,式(18)至式(23)中的Sw为含水饱和度,Swir为束缚水饱和度,Snw为含气饱和度,Krw为水的相对渗透率,Knw为气的相对渗透率,与式(1)至式(17)相关参数含义相同。结合式(17)和式(22),可得

(24)

将式(24)代入式(23),得到气的相对渗透率方程

(25)

式(17)和式(25)即本文所得到的计算的水(润湿相)和气(非润湿相)相对渗透率的公式。从公式的形式和参数可知,流体的相对渗透率与各相流体饱和度及束缚流体饱和度、核磁共振T2有关,说明流体的微观渗流过程受岩石孔隙结构及流体性质与分布的双重影响,所得的模型与实际情况更加吻合。

3 实验分析与讨论

为了对模型进行验证与分析,分别选取了中国东部某油田4块砂岩样品分别进行了非稳态法相对渗透率和核磁共振实验测试。表1为样品的基本物理信息,从表1可知,样品属于中低孔隙度低渗透率岩心。实验测试温度为19 ℃,饱和溶液为氯化钠,矿化度为8 000 mg/L,黏度为0.738 2 mPa·s,注入气为氮气,其黏度为0.017 4 mPa·s;核磁共振测试所用回波间隔为0.3 ms,等待时间为6 s,仪器扫描次数为64,离心时间为30 min,转子速度为8 000 r/min,共采集2 048个回波串,采用多指数拟合法得到核磁共振谱,反演布点数为64个。

表1 实验所用样品基本物性参数

图3 插值后气水相对渗透率与实测气水渗透率对比

图1是4块岩石完全饱和水时的核磁共振T2谱,从图1可知,除4号岩心,其他3块岩心均呈单峰形态或不明显的双峰形态,说明岩石的物性差,小孔隙部分所占比例较高。图2是核磁共振实验分析孔隙度与气测孔隙度对比图。2种实验方法测得数据基本一致,平均绝对误差为0.31%,平均相对误差为2.14%。分别采用离心法和气水相对渗透率实验法得到样品的束缚水饱和度,两者也十分接近(见表1),平均绝对误差为3.02%,平均相对误差为5.4%。以上分析表明,该实验数据质量较好,精度较高。

图1 样品完全含水时的核磁共振T2谱

图2 核磁共振测量孔隙度与气测孔隙度对比

核磁共振T2布点数要大于相对渗透率实验采点数,需对实验数据进行插值处理,以便于相对渗透率的拟合。根据核磁共振T2谱、相对渗透率与含水饱和度的相关性,采用对数插值法得到若干个含水饱和度下的核磁共振T2谱及相对渗透率。图3是插值后的相对渗透率曲线与实测相对渗透率曲线对比,插值后相对渗透率曲线形态及数值与实测数据基本一致。

图4 相对渗透率/修正孔隙度与核磁共振T2关系图

将所得的拟合系数用于相对渗透率的拟合,图5分别是4块样品拟合所得的相对渗透率与实测渗透率对比。从图5可见,对于水相,其计算的相对渗透率与实测值十分相近,精度较高,经统计其平均相对误差仅为2.45%,但模型计算的气相的相对渗透率与实测值存在较大的误差,这主要是因为在前述模型中假设气体的束缚饱和度为0所导致。通过实验尚无法准确确定计算气体的束缚饱和度,该模型用于气体的相对渗透率计算时需做进一步的改进和优化。对于水相,完全可以用本文所提出的模型进行相对渗透率计算。

图5 反演相对渗透率与实测相对渗透率对比

4 结 论

(1) 根据岩石孔隙的分形特征及核磁共振、毛细管压力原理,建立了电阻率增大率与核磁共振T2值的幂指数关系式,将岩石导电特征与孔隙结构参数的关系进一步定量化。

(2) 通过毛细管模型研究了电流场和渗流场的互等性,建立了流体相对渗透率与电阻率增大率之间的关系,实现了岩石导电特征与渗流特征的定量转换。

(3) 通过孔隙分析特征和毛细管模型,以岩石导电特征为桥梁建立了流体相对渗透率与核磁共振T2值之间的关系。模型表明,相对渗透率不仅仅与流体饱和度和束缚饱和度有关,还受到孔隙结构的影响,所建模型更加符合实际情况。

(4) 对于水(润湿相),采用本文研究所提出的模型计算得到的相对渗透率与实测值十分吻合,说明可用该模型进行水(润湿相)的相对渗透率计算;但对于气(非润湿相),由于模型将其束缚饱和度简化为0,模型所得相对渗透率与实测值存在较大的误差,若需要算准其相对渗透率,则首先需要确定非润湿相束缚饱和度。

参考文献:

[1] Purcell W R. Capillary Pressures: Their Measurement Using Mercury and the Calculation of Permeability [C]∥ Petroleum Transactions, AIME, 1956, 207: 144-181.

[2] Burdine N T. Relative Permeability Calculations from Pore Size Distribution Data [C]∥ Petroleum Transactions, AIME, 1953, 198: 71-78.

[3] Corey A T. The Interrelation Between Gas and Oil Relative Permeabilities [J]. Producer’s Monthly, 1954, 19: 38-41.

[4] 周克明, 张清秀, 王群, 等. 利用分形模型计算气水相对渗透率 [J]. 天然气工业, 2007, 27(10): 88-89.

[5] Li Kewen. A New Method for Calculating Two-phase Relative Permeability from Resistivity Data in Porous Media [J]. Transp Porous Med, 2008, 74: 21-33.

[6] Li Kewen. Interrelationship Between Resistivity Index, Capillary Pressure and Relative Permeability [J]. Transp Porous Med, 2011, 88: 385-398.

[7] Li Kewen. Analytical Derivation of Brooks Corey Type Capillary Pressure Models Using Fractal Geometry and Evaluation of Rock Heterogeneity [J]. Journal of Petroleum Science and Engineering, 2010, 73: 20-26.

[8] 李艳. 复杂储层岩石核磁共振特性实验分析与应用研究 [D]. 东营: 中国石油大学, 2008.

[9] 何雨丹, 毛志强, 肖立志, 等. 利用核磁共振T2分布构造毛管压力曲线的新方法 [J]. 吉林大学学报: 地球科学版, 2005, 35(2): 177-181.

[10] Fatt I. The Network Model of Porous Media, III Dynamic Properties of Networks with Tube Radius Distribution [J]. Petroleum Transactions, AIME, 1956, 207: 164-177.

[11] King P R. The Use of Renormalization for Calculating Effective Permeability [J]. Transport Porous Media, 1989, 4: 237.

[12] Li Kewen, Abbas Firoozabadi. Phenomenological Modeling of Critical Condensate Saturation and Relative Permeabilities in Gas Condensate Systems [J]. SPE Journal, 2000, 5: 138-147.

[13] Shimekit B, Mukhtar H, Maitra S. Comparison of Predictive Models for Relative Permeability of CO2in Matrimid-Carbon Molecular Sieve Mixed Matrix Membrane [J]. Journal of Applied Sciences, 2010, 10: 1204-1211.

[14] Olafuyi O A, Cinar Y, Knackstedt M A, et al. Capillary Pressure and Relative Permeability of Small Cores [C]∥SPE Symposium on Improved Oil Recovery, Tulsa, Oklahoma, USA, 2008.