具有强迫项的有限时滞Lienard方程周期解的存在性

黄　勇,　黄燕革

(百色学院 数学与计算机信息工程系, 广西 百色 533000)



具有强迫项的有限时滞Lienard方程周期解的存在性

黄勇,黄燕革

(百色学院 数学与计算机信息工程系, 广西 百色 533000)

摘要:利用Mawhin延拓定理证明，构造新算子，使用新技巧,研究了一类具有强迫项和有限时滞的二阶Lienard方程

的周期解问题,得到了方程至少存在一个周期解的充分条件,获得了新的结论.

关键词:强迫项; 时滞; Lienard方程; 周期解; Mawhin延拓定理

关于具有有限时滞Lienard方程

(1)

和关于具有强迫项的Lienard方程

(2)

的周期解的存在性的研究已有许多(参见文献[1-22]及其参考文献).据我们所知,研究同时具有强迫项和有限时滞的Lienard方程周期解的存在性还不多见.

本文研究如下一类同时具有强迫项和有限时滞Lienard方程

(3)

的周期解的存在性问题,其中,f1(x)、f2(x)和g(x)是定义在R=(-∞,+∞)上的连续实函数,常数τ≥0,e(t)是周期为T的连续函数,即对于常数T>0,e(t+T)=e(t).利用Mawhin延拓定理给出方程(3)存在周期解的一些充分条件.

1假设与引理

为研究方便,把方程(3)转化为以下等价方程组

(4)

其中

常数τ≥0.

这样,研究方程(3)就转化为研究方程(4).为利用Mawhin延拓定理[23],考虑Banach空间Z中的算子方程

(Eλ)

其中,L:domL∩Z→Z是一个线性算子,N:Z→Z是一个连续的算子和λ∈[0,1]是一个参数.

相应于方程(Eλ)有

因此,关于方程组(4)的周期解的存在性问题被转化为当λ=1时,方程组(5)在Z中的周期解的存在性问题.

如果

dim KerL=codim ImL<+∞,

并且ImL在Z中闭,则算子L称为指标为零的Fredholm算子[24].

如果L为指标为零的Fredholm算子,则存在连续投影算子P、Q分别为:

P:Z∩domL→KerL,

Q:Z→Z/ImL,

且有

ImP=KerL,KerQ=ImL.

因此有

L|dom L∩Ker P:domL∩KerP→ImL

是一个一一映射且具有连续广义逆kp及

J:Z/ImL→KerL

是一个同构.

1)LX≠λNX,∀X∈∂Ω∩domL,λ∈(0,1),

2)QNX≠0,∀X∈∂Ω∩KerL,

3) deg{JQN,Ω∩KerL,0}≠0;

则

为了讨论方程(4)的周期解存在性问题,记

并在Z中定义范数

其中

易证,在此范数下Z为Banach空间.定义

易证

dim KerL=codim ImL=2

且ImL为Z的闭子空间,故知L为指标为零的Fredholm算子.

2主要结果

定理假设f1(x)、f2(x)和g(x)是定义在R=(-∞,+∞)上的连续实函数,e(t)是周期为T的连续函数,并且以下条件成立:

(A1)f2(x)在R上有界,存在常数b>0,使

(A3)f1(x)>0,且

则方程组(4)至少存在一个周期为T的周期解.

证明第1步:证明当λ∈(0,1)时,对于方程(5)的任意一个T周期解

一定存在正数M>0,使得对所有的t∈[0,T]有

先证明第一个分量x(t)≤M1,常数M1>0.由(5)式的第2个方程积分得

(6)

由假设条件(A1)和(A2)可以确定必存在t0∈[0,T],使得

(7)

现记

以下证明存在M1>0,使x(t*)

事实上,如果x(t*)≤d,取M1>d,结论显然成立.若x(t*)>d,结合(7)式知存在包含t*的区间[α,β],这里α=α(x,λ),β=β(x,λ),且β-α

(8)

(9)

(10)

这样由(5)式的第一个方程及(9)式得

(11)

从而存在ξ∈[α,β],使

(12)

现记|u|q表示Lq([α,β],R)中的范数,其中1≤q<+∞,即

可得

(13)

将方程(5)的第1个方程写为

得到

(14)

另一方面有

(15)

代入(15)式得到

其中,k为满足00与x、λ无关.

将(14)同(15)及(16)式相比较,分别得到

和

由条件(A3)知道,无论上述哪种情况,均存在常数c2>0,使得

从而

(19)

令

则c3是独立于x,λ的常数,让M1≥c3,这样已经证明了存在常数M1≥0,使

从而第1个分量

下面证明,在上述前提下,第2个分量y(t)≤M2,常数M2>0,且存在常数M>0,使

事实上,由条件(A1)、(A2),可以得到

其中-d≤x≤M1.由于

为一个常数,令

则

因此由(5)式的第2个方程有

则由(12)式和x(t*)的做法,容易得到

(21)

即证明了存在正数M2>0,M2=c1+2c4,使第2个分量

用x′(t)乘以(5)式的第1个方程,并在[0,T]上积分得

即

故

(22)

因此,由(7)和(22)式得

(23)

均有‖X(t)‖≤M.

第2步:为利用引理1,记

L:domL∩Z→Z是一个线性算子,N:Z→Z是一个连续的算子,则L为指标为零的Fredholm算子,在前面范数规定下Z为Banach空间.定义连续投影算子P、Q为

则有

ImP=KerL,KerQ=ImL,

且

L|dom L∩Ker P:domL∩KerP→ImL

是一个一一映射且具有连续广义逆kp及Z/ImL→KerL是一个同构,记为J.kp由下式给出

根据以上证明,显然Ω满足引理1中的条件1)的要求.

现在设

则X是一个在R2中的常矢且‖X‖=M.如果|x|>d,由条件(A2)、(19)和(22)式获得

如果|x|≤d,由

有

得到

因此,无论哪种情况都有

(24)

这样,引理1中的条件2)满足.

现定义连续算子B:Ω→Ω,BX=(y,-x)T,根据Ω定义,Ω关于原点对称,且当X=(x,y)T∈∂Ω∩KerL时,

由引理2有

deg{B,Ω∩KerL,0}≠0.

作一个函数

φ(X,u)=uBX+(1-u)QNX=

引理1中的条件3)满足.

这样,Ω满足引理1的全部条件.故由引理1,算子方程LX=NX在Banach空间Z至少有一个解.这样我们已经证明方程组(4)至少存在一个T周期解.定理证毕.

3应用举例

考虑方程

(25)

因为

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2010 MSC:34C25

(编辑余毅)

The Existence of Periodic Solutions for a Class of Forced and Finite Delayed Lienard Equations

HUANG Yong,HUANG Yan’ge

(DepartmentofMathematicsandComputerInformationTechnology,BaiseCollege,Baise533000,Guangxi)

Abstract:In this paper, a new operator is constructed by using the Mawhin’s continuity theorem. The periodic solutions to a class of forced and finite delayed second-order Lienard equations of the form x″(t)+f1(x)x′(t)+f2(x)(x′(t))2+g(x(t-τ))=e(t) are studied. Some sufficient conditions for the existence of periodic solutions are given.

Key words:forced; delayed; Lienard equations; periodic solution; Mawhin’s continuity theorem

doi:10.3969/j.issn.1001-8395.2016.01.020

中图分类号:O157.6

文献标志码:A

文章编号:1001-8395(2016)01-0111-06

作者简介:黄勇(1961—),男,教授,主要从事微分方程的研究,E-mail:huangyong861@sohu.com

基金项目:广西自然科学基金(2013GXNSFAA019022)和广西高校科研项目基金(2013YB243)

收稿日期:2015-05-12